Какое значение имеет двойной интеграл int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику, где x находится в диапазоне от 2

Тема: Двойной интеграл

Объяснение:

Двойной интеграл - это математический инструмент, который используется для решения задач, связанных с двумерным пространством. В данном случае мы рассматриваем двойной интеграл функции x^2y, где x находится в диапазоне от 2 до 4, а y - от 1 до 2.

Чтобы найти значение двойного интеграла данной функции, мы должны вычислить определенный интеграл функции по прямоугольнику, ограниченному указанными пределами.

Мы начинаем с внутреннего интеграла, интегрируя функцию x^2y по переменной x от 2 до 4. После этого полученный результат подставляем как функцию от y во внешний интеграл и интегрируем по переменной y от 1 до 2.

После выполнения всех необходимых вычислений, мы можем получить значение двойного интеграла.

Пример использования:

Интегрируем внутреннюю функцию:
∫ (2 до 4) x^2y dx

Вычисляем:
[1/3x^3y] от 2 до 4

Подставляем значения:
[1/3(4^3y) - 1/3(2^3y)]

Упрощаем:
[64/3y - 8/3y]

Теперь интегрируем внешний функцию:
∫ (1 до 2) [64/3y - 8/3y] dy

Вычисляем:
[(32/3)y^2 - (8/3)y^2] от 1 до 2

Подставляем значения:
[(32/3)(2^2) - (8/3)(2^2)] - [(32/3)(1^2) - (8/3)(1^2)]

Упрощаем:
[(32/3)(4) - (8/3)(4)] - [(32/3) - (8/3)]

Вычисляем:
(128/3 - 32/3) - (32/3 - 8/3)

Наконец, получаем значение двойного интеграла равное:
(96/3 - 24/3) - (24/3 - 8/3) = 72/3 - 16/3 = 56/3

Совет:
Приступая к решению задач по двойным интегралам, важно последовательно интегрировать внутренние и внешние функции, учитывая заданные пределы интегрирования.

Упражнение:
Вычислите значение двойного интеграла \int \int x^3y\,dx\,dy по прямоугольнику, где x находится в диапазоне от 1 до 3, а y - от 2 до 4.