Какое значение имеет двойной интеграл int int x^{2}y ,dx ,dy в прямоугольнике с ограничениями 2 le x le 4 и 1 le

Содержание вопроса: Двойной интеграл

Описание: Двойной интеграл представляет собой интегральную операцию, где интеграл берется от функции двух переменных по области на плоскости. В данной задаче нам дан двойной интеграл \(\int \int x^{2}y\,dx\,dy\) с ограничениями 2 \le x \le 4 и 1 \le y \le 2.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, мы сначала интегрируем по переменной x с ограничениями от 2 до 4, а затем по переменной y с ограничениями от 1 до 2.

Возьмем первый интеграл \(\int x^{2}y\,dx\) от 2 до 4. Интегрируя по x, мы получим \(\frac{1}{3}x^{3}y\). Затем подставим ограничения для x: \(\frac{1}{3}(4^{3}y - 2^{3}y) = \frac{1}{3}(64y-8y) = \frac{1}{3}(56y)\).

Теперь возьмем второй интеграл \(\int \frac{1}{3}(56y)\,dy\) от 1 до 2. Интегрируя по y, мы получим \(\frac{1}{6}(56y^{2})\), а затем подставим ограничения для y: \(\frac{1}{6}(56(2^{2}) - 56(1^{2})) = \frac{1}{6}(56(4) - 56(1)) = \frac{1}{6}(112-56) = \frac{1}{6}(56) = 28\).

Таким образом, значение двойного интеграла \(\int \int x^{2}y\,dx\,dy\) в прямоугольнике с ограничениями 2 \le x \le 4 и 1 \le y \le 2 равно 28.

Совет: При решении двойного интеграла с ограниченной областью, важно ясно определить порядок интегрирования и правильно подставлять ограничения переменных. Также помните, что интегрирование по переменной у происходит после интегрирования по переменной х.

Упражнение: Вычислите двойной интеграл \(\int \int 3xy\,dx\,dy\) в прямоугольнике с ограничениями 1 \le x \le 2 и 0 \le y \le 1.