Какое значение функции [tex]y=3x^{4} -10x^{3} +30[/tex] будет минимальным? Мне нужно получить ответ до завтра

Название: Поиск минимального значения функции

Инструкция: Чтобы найти минимальное значение функции, нам необходимо найти его точку минимума. Для этого используем некоторые основные принципы дифференциального исчисления.

Шаг 1: Найдите производную функции. Возьмем производную от функции y по переменной x.

[tex]y" = 12x^{3} - 30x^{2}[/tex]

Шаг 2: Найдите корни производной y". Это могут быть точки, в которых значение производной равно нулю или неопределено.

[tex]12x^{3} - 30x^{2}=0[/tex]

Переносим слагаемое [tex]12x^{3}[/tex] на другую сторону уравнения:

[tex]30x^{2}=12x^{3}[/tex]

Используем свойство деления на ненулевое число:

[tex]x^{2}(30-12x)=0[/tex]

Получаем два решения: [tex]x=0[/tex] и [tex]x=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}=2.5[/tex]

Шаг 3: Проверьте значение второй производной y"". Если оно положительное в точке, значит, это точка минимума. Если оно отрицательное, это точка максимума или седловая точка.

[tex]y"" = 36x^{2} - 60x[/tex]

Подставим найденные значения x=0 и x=2.5:

[tex]y""(0) = 36(0)^{2} - 60(0) = 0[/tex]
[tex]y""(2.5) = 36(2.5)^{2} - 60(2.5) = -75[/tex]

Наше значение y""(2.5) отрицательное, поэтому x=2.5 - это точка минимума функции.

Шаг 4: Подставьте найденное значение x=2.5 в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y.

[tex]y = 3(2.5)^{4} - 10(2.5)^{3} + 30[/tex]
[tex]y = 3(39.0625) - 10(15.625) + 30[/tex]
[tex]y = 117.1875 - 156.25 + 30[/tex]
[tex]y \approx -8.0625[/tex]

Минимальное значение функции равно приблизительно -8.0625.

Доп. материал:
«Для определения минимального значения функции [tex]y=3x^{4} -10x^{3} +30[/tex], найдем его точку минимума. Для этого мы возьмем производную функции, приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение. Затем проверим значение второй производной, чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или нет. И, наконец, подставим найденное значение x в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y. В данном случае, минимальное значение функции равно приблизительно -8.0625».

Совет: При решении подобных задач по поиску минимума функции помните, что производная функции дает нам информацию о наклоне графика функции. Если у нас есть квадратичная функция, мы можем использовать свойства производных для нахождения точки минимума или максимума. Также, не забывайте проверять значение второй производной, чтобы убедиться, является ли найденная точка точкой минимума или максимума функции.

Дополнительное задание: Найдите точку минимума функции [tex]y = 2x^{3} - 12x^{2} + 18x - 5[/tex].