Какое уравнение плоскости проходит через точку M0(3;4;5) и имеет нормальный вектор n ⃗=(-1;-3;2)?

Уравнение плоскости через точку и с нормальным вектором

Пояснение:
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве может быть записано в виде Ax + By + Cz + D = 0, где (x, y, z) - координаты любой точки на плоскости, а коэффициенты A, B, C и D определяют плоскость. Нормальный вектор плоскости указывает направление перпендикулярно к плоскости.
Для нахождения уравнения плоскости с заданной точкой и нормальным вектором, мы можем использовать следующую формулу:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,
где (x0, y0, z0) - координаты заданной точки на плоскости, A, B и C - компоненты нормального вектора.
Подставляя заданные значения точки и нормального вектора, мы получаем уравнение плоскости:
(-1)(x - 3) + (-3)(y - 4) + 2(z - 5) = 0,
-x + 3 + (-3y + 12) + 2z - 10 = 0,
- x - 3y + 2z + 5 = 0.
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M0(3;4;5) и имеющей нормальный вектор n⃗=(-1;-3;2), будет -x - 3y + 2z + 5 = 0.

Демонстрация:
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку M(2; -1; 3) и имеющей нормальный вектор n⃗=(-2; 1; -3).

Совет:
Чтобы лучше понять уравнение плоскости и его связь с нормальным вектором, рекомендуется разобраться в основных понятиях векторов и плоскостей в трехмерном пространстве. Изучите как нормальный вектор определяет направление и ориентацию плоскости и как уравнение плоскости связано с координатами точек на плоскости.

Задача для проверки:
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку P(1; 2; -3) и имеющей нормальный вектор n⃗=(-2; 4; -1).