Какое уравнение описывает кривую, проходящую через точку M(2 -1) и имеющую касательную с наклоном k=1/2y?

Тема: Уравнение кривой с заданными условиями

Пояснение: Чтобы найти уравнение кривой, проходящей через точку M(2, -1) и имеющей касательную с наклоном k=1/2y, мы можем использовать процесс дифференцирования обратного.

Для начала, нам понадобится найти производную функции y(x). Поскольку у нас есть наклон касательной k, можно сказать, что производная функции равна k. То есть, y'(x) = k = 1/2y.

Теперь мы можем решить данное дифференциальное уравнение. Найдем производную от y по x, разделим обе стороны на y и поместим все y слева от равенства. Получим следующее:

dy/y = (1/2)dx

Интегрируя обе стороны уравнения, мы получим:

ln|y| = (1/2)x + C

Где C — постоянная интегрирования. Мы можем найти ее, используя координаты точки M(2, -1). Подставим значения x и y в уравнение и решим его:

ln|-1| = (1/2) * 2 + C

-ln(1) = 1 + C

C = -ln(1) - 1

Теперь, используя найденное значение C, мы можем выразить уравнение кривой:

ln|y| = (1/2)x - ln(1) - 1

Пример использования: Найти уравнение кривой, проходящей через точку M(2, -1) и имеющей касательную с наклоном k=1/2y.

Совет: Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется изучить основы дифференцирования и интегрирования. Практикуйтесь в решении дифференциальных уравнений и используйте геометрическую интерпретацию касательной.

Упражнение: Найдите уравнение кривой, проходящей через точку N(4, 3) и имеющей касательную с наклоном k=3x.