Какое наименьшее положительное значение удовлетворяет неравенству sin(x/2)cos(x/2)≥1/4 и как его найти?

Суть вопроса: Решение неравенств с тригонометрическими функциями

Инструкция: Для решения данного неравенства нам нужно сначала привести его к виду, в котором мы сможем выразить значение переменной x.

Неравенство sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/4 можно переписать так: sin(x/2) ≥ 1/4cos(x/2).

Заметим, что cos(x/2) является положительным значением, так как на интервале [0, 2π] косинус является положительной функцией. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на cos(x/2), получив sin(x/2) / cos(x/2) ≥ 1/4.

Здесь мы можем использовать тригонометрическую тождественную функцию тангенса: tan(x/2) ≥ 1/4.

Теперь, чтобы найти наименьшее положительное значение, удовлетворяющее этому неравенству, мы должны найти значения x/2 ∈ [0, 2π] при которых tan(x/2) ≥ 1/4.

Мы можем использовать таблицу значений тангенса или тригонометрический калькулятор для нахождения таких значений. Подходящие значения будут те, для которых tan(x/2) больше или равно 1/4.

Пример: Найдите минимальное положительное значение x, удовлетворяющее неравенству sin(x/2)cos(x/2)≥1/4.

Совет: Чтобы лучше понять решение такого типа неравенств, рекомендуется ознакомиться с тригонометрическими функциями и их свойствами, а также привести неравенство к виду, удобному для решения.

Ещё задача: Найдите все значения x ∈ [0, 2π], удовлетворяющие неравенству sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/2.