Какое наименьшее натуральное число делится на 3 с остатком 1, на 4 с остатком 2, на 5 с остатком 3, на 6 с остатком

Суть вопроса: Нахождение наименьшего натурального числа с заданными условиями

Пояснение:
Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет заданным условиям, мы должны решить систему сравнений. В данном случае, система сравнений будет выглядеть следующим образом:

x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 2 (mod 4)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7)

Для решения этой системы используем китайскую теорему об остатках. Сначала найдем число M, которое будет равно произведению всех модулей: M = 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 2520.

Теперь найдем обратные элементы по модулям M/модуль в каждом уравнении:
Обратный элемент по модулю 3: 3^(-1) ≡ 1 (mod 3)
Обратный элемент по модулю 4: 4^(-1) ≡ 1 (mod 4)
Обратный элемент по модулю 5: 5^(-1) ≡ 1 (mod 5)
Обратный элемент по модулю 6: 6^(-1) ≡ 3 (mod 6)
Обратный элемент по модулю 7: 7^(-1) ≡ 1 (mod 7)

Теперь умножим каждое уравнение на соответствующий обратный элемент и сложим результаты:
x ≡ (1 * 1 * 1 * 3 * 0) + (2 * 1 * 3 * 4 * 1) + (3 * 1 * 1 * 0 * 2) + (4 * 1 * 1 * 1 * 0) (mod 2520)
x ≡ (24 + 24 + 6 + 0) (mod 2520)
x ≡ 54 (mod 2520)

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет всем заданным условиям, равно 54.

Совет:
Чтобы лучше понять решение системы сравнений с использованием китайской теоремы об остатках, важно быть знакомым с обратными элементами по модулю и уметь работать с ними.

Практика: Какое наименьшее натуральное число делится на 2 с остатком 1, на 3 с остатком 2, на 4 с остатком 3, и на 5 с остатком 4, но делится на 6 без остатка?