Какое наименьшее натуральное число a нужно выбрать, чтобы для любого нечетного числа n выражение (45n + a*2n) делилось

Название: Деление по модулю и выбор значения a.

Разъяснение: Для начала, давайте разберемся с выражением (45n + a*2n). Нам нужно выбрать значение a, чтобы это выражение делилось на 2021 для любого нечетного числа n.

Чтобы выражение делилось на 2021, оно должно оставаться без остатка при делении на 2021. То есть, мы можем записать это как (45n + a*2n) ≡ 0 (mod 2021), где "≡" обозначает сравнение по модулю.

Теперь давайте разложим это выражение. Мы можем записать (45n + a*2n) как n*(45 + 2a).

Таким образом, нам нужно выбрать значение a такое, чтобы выражение (45 + 2a) делилось на 2021 для любого нечетного числа n.

Мы знаем, что 45 + 2a должно делиться на 2021 для любого нечетного n. И мы также знаем, что 2021 - простое число.

Находим наименьшее значение a, которое удовлетворяет этому условию. Берем a = 988.

Теперь проверим, что выражение (45 + 2a) действительно делится на 2021 для любого нечетного n. Возьмем несколько значений нечетного n и подставим в выражение:

При n = 1: (45 + 2*988) = 2021

При n = 3: (45 + 2*988) = 2021

При n = 5: (45 + 2*988) = 2021

Все результаты равны 2021, что означает, что выбранное значение a = 988 подходит для данной задачи.

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, полезно разобраться с остатками и делением чисел по модулю. Попробуйте выполнить несколько примеров деления чисел по модулю различными числами.

Задание: Какое наименьшее натуральное число a нужно выбрать, чтобы для любого нечетного числа n выражение (36n + a*5n) делилось на 2022?