Какое минимальное значение принимает функция y=(x^2+18x-18)e^x?
Какое минимальное значение принимает функция y=(x^2+18x-18)e^x?
11.12.2023 03:56
Верные ответы (1):
Chudo_Zhenschina
7
Показать ответ
Содержание вопроса: Минимальное значение функции
Объяснение: Чтобы найти минимальное значение функции y=(x^2+18x-18)e^x, мы можем воспользоваться теорией оптимизации. Сначала найдем производную функции y по переменной x, затем найдем точки, где производная равна нулю или не определена, и, наконец, сравним значения функции в этих точках, чтобы найти минимальное значение.
1. Найдем производную функции y по переменной x, используя правила дифференцирования. Для этого умножим каждое слагаемое на e^x и применим правило производной произведения функций:
y' = (2x + 18)e^x + (x^2 + 18x - 18)e^x
2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти точки, где производная равна нулю:
(2x + 18)e^x + (x^2 + 18x - 18)e^x = 0
(2x + x^2 + 36x + 18)e^x = 0
(x^2 + 38x + 18)e^x = 0
3. Вспомним, что производная функции равна нулю, когда либо сама функция равна нулю, либо экспонента e^x равна нулю. Однако, экспонента не может быть равна нулю, так что остается только уравнение (x^2 + 38x + 18) = 0.
4. Решим уравнение (x^2 + 38x + 18) = 0, используя факторизацию, квадратное уравнение или квадратное уравнение по формуле:
(x + 3)(x + 6) = 0
x = -3 или x = -6
5. Найденные значения x, -3 и -6, являются точками, где производная функции равна нулю.
6. Наконец, найдем значения функции y в найденных точках и выберем минимальное значение:
y(-3) = (-3^2 + 18(-3) - 18)e^-3
y(-3) = (-9 - 54 - 54)e^-3
y(-3) ≈ -103.74
Все ответы даются под вымышленными псевдонимами! Здесь вы встретите мудрых наставников, скрывающихся за загадочными никами, чтобы фокус был на знаниях, а не на лицах. Давайте вместе раскроем тайны обучения и поищем ответы на ваши школьные загадки.
Объяснение: Чтобы найти минимальное значение функции y=(x^2+18x-18)e^x, мы можем воспользоваться теорией оптимизации. Сначала найдем производную функции y по переменной x, затем найдем точки, где производная равна нулю или не определена, и, наконец, сравним значения функции в этих точках, чтобы найти минимальное значение.
1. Найдем производную функции y по переменной x, используя правила дифференцирования. Для этого умножим каждое слагаемое на e^x и применим правило производной произведения функций:
y' = (2x + 18)e^x + (x^2 + 18x - 18)e^x
2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти точки, где производная равна нулю:
(2x + 18)e^x + (x^2 + 18x - 18)e^x = 0
(2x + x^2 + 36x + 18)e^x = 0
(x^2 + 38x + 18)e^x = 0
3. Вспомним, что производная функции равна нулю, когда либо сама функция равна нулю, либо экспонента e^x равна нулю. Однако, экспонента не может быть равна нулю, так что остается только уравнение (x^2 + 38x + 18) = 0.
4. Решим уравнение (x^2 + 38x + 18) = 0, используя факторизацию, квадратное уравнение или квадратное уравнение по формуле:
(x + 3)(x + 6) = 0
x = -3 или x = -6
5. Найденные значения x, -3 и -6, являются точками, где производная функции равна нулю.
6. Наконец, найдем значения функции y в найденных точках и выберем минимальное значение:
y(-3) = (-3^2 + 18(-3) - 18)e^-3
y(-3) = (-9 - 54 - 54)e^-3
y(-3) ≈ -103.74
y(-6) = (-6^2 + 18(-6) - 18)e^-6
y(-6) = (-36 - 108 - 18)e^-6
y(-6) ≈ -50.90
Минимальное значение функции y=(x^2+18x-18)e^x принимается при x ≈ -6 и равно примерно -50.90.
Пример использования:
Задача: Найдите минимальное значение функции y=(x^2+18x-18)e^x.
Совет: Для нахождения минимального значения функции можно пользоваться методом дифференцирования и анализировать значения при x = -∞ и x = +∞.
Упражнение: Найдите минимальное значение функции y=(2x^2+8x-16)e^x.