Вероятность и минимальное значение
Какое минимальное значение K обеспечит Дяде Фёдору уверенность в том, что у него хватит конфет на всю зиму
Какое минимальное значение K обеспечит Дяде Фёдору уверенность в том, что у него хватит конфет на всю зиму с вероятностью, если он заказал на 15% больше конфет, чем требуется, и он проверил K разных конфет, каждая из которых ему понравилась, доставая из посылки и пробуя маленький кусочек?
03.12.2023 19:02
Написать свой ответ:
Разъяснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти минимальное значение K, при котором Дядя Фёдор может быть уверенным, что у него хватит конфет на всю зиму с заданной вероятностью.
Предположим, что Дядя Фёдор заказал X конфет, которых достаточно на всю зиму. Он заказал на 15% больше (X + 0.15X = 1.15X) этих конфет, чтобы быть уверенным, что их хватит.
Если Дядя Фёдор проверил K разных конфет, причем каждая из них ему понравилась, то вероятность того, что все оставшиеся конфеты ему понравятся, равна:
P(понравятся все оставшиеся конфеты) = (K/(X + 0.15X))^K = (K/1.15X)^K.
Так как Дядя Фёдор хочет быть уверенным, что эта вероятность больше заданной, установим неравенство:
(K/1.15X)^K > P,
где P - заданная вероятность (в виде десятичной дроби).
Чтобы найти минимальное значение K, нам нужно решить это неравенство относительно K.
Демонстрация:
Если Дядя Фёдор заказал 200 конфет и хочет быть уверенным с вероятностью 0.8, мы можем решить неравенство:
(K/1.15*200)^K > 0.8.
Совет:
Для решения неравенства можно использовать методы численного анализа или графический метод, итерационно проверяя различные значения K.
Упражнение:
Дядя Фёдор заказал 150 конфет и хочет быть уверенным с вероятностью 0.9. Какое минимальное значение K он должен проверить?
Пояснение: Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться биномиальным распределением и формулой Бернулли.
Допустим, у Дяди Фёдора есть M конфет, которые он заказал. Он заказал на 15% больше, чем требуется, что означает, что у него есть 1.15M конфет.
Вероятность того, что каждая конфета понравится Дяде Фёдору, составляет 1/K. Тогда вероятность того, что конфета не понравится, будет (K-1)/K.
Для того, чтобы Дядя Фёдор был уверен в том, что у него хватит конфет на всю зиму с определенной вероятностью, нам нужно найти максимальное значение K, при котором вероятность хотя бы одной неудачи останется минимальной.
Формула Бернулли для расчета вероятности одной неудачи в K независимых испытаниях:
P(неудача) = (K-1)/K
Чтобы вероятность одной неудачи оставалась минимальной, нужно максимизировать P(неудача).
Таким образом, максимальное значение K будет определяться соотношением:
(K-1)/K ≤ 1/M
Находим значение K:
(K-1)/K = 1/M
K - 1 = K/M
K(M-1) = M
K = M/(M-1)
Таким образом, минимальное значение K, обеспечивающее уверенность Дяде Фёдору в хватке конфет на всю зиму, равно M/(M-1).
Доп. материал:
Заказали 100 конфет. Какое минимальное значение K обеспечит Дяде Фёдору уверенность в том, что у него хватит конфет на всю зиму с вероятностью?
Ответ: K = 100/99
Совет: Для лучшего понимания материала, рекомендуется ознакомиться с биномиальным распределением и формулой Бернулли. Постарайтесь проследить логику решения задачи и внимательно работать с формулами.
Дополнительное упражнение: Дядя Фёдор заказал 80 конфет. Какое минимальное значение K обеспечит ему уверенность в том, что у него хватит конфет на всю зиму с вероятностью?