Какое максимальное значение принимает функция log1/3(x^2+6x+12) на интервале [-19; -1]?

Тема: Максимальное значение логарифмической функции

Объяснение:
Для решения данной задачи нам понадобится знание свойств логарифмических функций и алгоритм поиска экстремумов функций на заданном интервале.

Первым делом, необходимо найти производную исходной функции. Для этого воспользуемся формулой по дифференцированию логарифма: d/dx[log_a(u)] = 1/(u ln(a)) * du/dx. Продифференцировав исходную функцию log1/3(x^2+6x+12), получим: f'(x) = 1/(x^2+6x+12) * (2x+6).

Далее, найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 1/(x^2+6x+12) * (2x+6) = 0.
Simplifying this equation, we get (2x+6) = 0, which gives (x = -3).

Теперь определим знаки производной слева и справа от критической точки, чтобы понять, является ли данная точка максимумом или минимумом. Обратим внимание на знаки, исходя из теоремы о знаке производной. Когда x < -3, f'(x) > 0, значит, функция возрастает. Когда x > -3, f'(x) < 0, значит, функция убывает.

Таким образом, точка x = -3 является максимумом функции на данный интервал [-19; -1]. Чтобы найти значение функции в данной точке, подставим ее в исходную функцию: f(-3) = log1/3((-3)^2+6*(-3)+12) = log1/3(9-18+12) = log1/3(3) = 1.

Пример использования:
Максимальное значение функции log1/3(x^2+6x+12) на интервале [-19; -1] равно 1.

Совет:
Для успешного решения задач по поиску экстремумов функций важно уметь находить производные функций и анализировать их знаки на заданных интервалах. Изучите теорию дифференцирования и особенности логарифмических функций, чтобы легче справиться с такими задачами.

Задание для закрепления:
Найдите минимальное значение функции y = log2(x^2 - 4x - 21) на интервале [-10; 10].