Какое число, записанное на доске, имеет наименьшее значение, если при делении на 4 даёт остаток 1, при делении

Тема: Решение китайской теоремы об остатках

Объяснение:

Данная задача может быть решена с использованием китайской теоремы об остатках. Сначала мы можем предположить, что искомое число может быть записано в виде X, где X - наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям задачи. Затем мы строим систему уравнений, основанную на вышеуказанных условиях.

Уравнение 1: X ≡ 1 (mod 4)
Уравнение 2: X ≡ 2 (mod 5)
Уравнение 3: X ≡ 3 (mod 6)

Решим первые два уравнения(1, 2) и найдем значение X1, которое удовлетворяет этим двум условиям. В данном случае, X1 будет равно 9, так как 9 даёт остаток 1 при делении на 4 и остаток 2 при делении на 5.

Затем решим уравнение 3 с найденным значением X1. X1 ≡ 3 (mod 6). Решив это уравнение, мы получаем X2 = 3.

Теперь у нас есть два значения, X1 = 9 и X2 = 3, которые удовлетворяют всем условиям задачи. Мы можем получить общее решение для этих значений, используя китайскую теорему об остатках.

Для этого мы вычисляем m1 и m2. m1 = 5 * 6 = 30, m2 = 4 * 6 = 24.

Затем вычисляем a1 и a2. a1 = 9 * 5 * 6^-1 ≡ 9 * (-1) ≡ -9 ≡ 21 (mod 30), a2 = 3 * 4 * 6^-1 ≡ 3 * 4 ≡ 12 (mod 24).

Теперь объединяем общее решение с помощью формулы: X ≡ (a1 * m1 + a2 * m2) ≡ (21 * 30 + 12 * 24) ≡ 630 + 288 ≡ 918 (mod 120).

Значит, наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям задачи, будет равно 918.

Пример использования:

Лучше всего использовать этих значений, чтобы проверить, что они действительно удовлетворяют всем условиям.
При делении 918 на 4 получим остаток 1, при делении на 5 получим остаток 2, и при делении на 6 получим остаток 3.

Совет:

Хорошим способом понять это решение является понимание китайской теоремы об остатках и свойств остатков. Рекомендуется изучить эту теорию и основные принципы, прежде чем приступать к решению подобных задач.

Упражнение:

Найдите наименьшее число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 7 даёт остаток 1 и при делении на 8 даёт остаток 4.