Какое число загадала Маша, если оно меньше 50, при делении на 6 даёт остаток 5, а при делении на 5 — остаток

Тема: Алгебра - Решение системы линейных уравнений

Объяснение:

Чтобы найти число, которое загадала Маша, мы можем использовать метод решения системы линейных уравнений.

У нас есть два условия, которые описывают число:
1) При делении на 6, остаток равен 5: x ≡ 5 (mod 6)
2) При делении на 5, остаток равен 4: x ≡ 4 (mod 5)

Для решения такой системы линейных уравнений можем использовать китайскую теорему об остатках.

1) Найдем обратный элемент 6 по модулю 5.
Ищем число, удовлетворяющее условию: 6 * y ≡ 1 (mod 5).
В данном случае, число 1 удовлетворяет этому условию.
Значит, обратный элемент 6 по модулю 5 равен 1.

2) Найдем обратный элемент 5 по модулю 6.
Ищем число, удовлетворяющее условию: 5 * z ≡ 1 (mod 6).
В данном случае, число 5 удовлетворяет этому условию.
Значит, обратный элемент 5 по модулю 6 равен 5.

Теперь мы можем применить китайскую теорему об остатках:
x ≡ (5 * 5 * 4 + 6 * 1 * 5) mod (5 * 6)
x ≡ (100 + 30) mod 30
x ≡ 130 mod 30
x ≡ 20 (mod 30)

Значит, число, которое загадала Маша, равно 20.

Совет: При решении систем линейных уравнений, всегда помните о китайской теореме об остатках. Она позволяет находить решения, когда даны несколько условий (остатков) для одной переменной.

Упражнение: Какое число загадала Маша, если оно меньше 70, при делении на 8 даёт остаток 3, а при делении на 7 — остаток 2?