Какие значения x удовлетворяют уравнению sin^2 x/4 - cos^2 x/4 = -√3/2?

Тема занятия: Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Инструкция: Дано уравнение sin^2(x/4) - cos^2(x/4) = -√3/2. Для того, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют этому уравнению, нам необходимо применить некоторые свойства тригонометрических функций.

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (идентичность Пифагора). Теперь, заменим x/4 на y, для удобства записи. Тогда у нас получится следующее уравнение:

sin^2(y) - cos^2(y) = -√3/2

Используя идентичность Пифагора, мы можем переписать это уравнение как:

1 - 2cos^2(y) = -√3/2

Теперь давайте решим это уравнение. Выразим cos^2(y):

2cos^2(y) = 1 + √3/2

cos^2(y) = (1 + √3/2) / 2

cos^2(y) = (2 + √3) / 4

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

cos(y) = ± √((2 + √3) / 4)

Так как мы ищем значения x, мы должны вернуться к первоначальной переменной. У нас было x/4 = y, поэтому:

x = 4y

Таким образом, значения x, которые удовлетворяют уравнению sin^2(x/4) - cos^2(x/4) = -√3/2, равны x = 4y, где y - это значение, полученное из корня выше.

Например: Найдите значения x, которые удовлетворяют уравнению sin^2(x/4) - cos^2(x/4) = -√3/2.

Совет: При решении уравнений с тригонометрическими функциями, всегда старайтесь применить известные тригонометрические тождества и свойства, чтобы свести уравнение к более простым формам. И не забывайте возвращаться к исходной переменной, если вы используете замену.

Упражнение: Найдите значения x, которые удовлетворяют уравнению sin^2(5x/2) - cos^2(5x/2) = 0.