Какие значения параметра a приводят к тому, что система уравнений 2x+ay=a+2 и (a+1)x+2ay=2a+4 имеет: a) только одно

Предмет вопроса: Системы уравнений с параметрами

Инструкция: Чтобы определить, какие значения параметра "a" приводят к различным видам решений системы уравнений, нам нужно решить ее шаг за шагом и анализировать полученные результаты.

а) Если система имеет только одно решение, это означает, что левые и правые части обоих уравнений равны между собой. Мы можем решить систему методом подстановки или методом исключения переменных и получить одно и конкретное значение "a".

б) Если система имеет бесконечное множество решений, это означает, что все переменные уходят в унитарное выражение, и при любом выбранном значении "a" система остается верной. Это возможно, если левые и правые части уравнений становятся пропорциональными или идентичными. В этом случае уравнения становятся зависимыми, и заданный параметр "a" может принимать любое значение.

в) Если система не имеет решений, это означает, что уравнения противоречат друг другу. Сравнивая их коэффициенты и свободные члены, мы можем найти значения "a", при которых уравнения несовместимы.

Демонстрация:
а) Если a = 3, то система примет вид:
2x + 3y = 5
4x + 6y = 10

Решая эту систему уравнений, мы получаем уникальное решение x = 2, y = 1.

б) Если a = 1, то система примет вид:
2x + y = 3
2x + 4y = 6

Эти уравнения являются пропорциональными, и решением будет бесконечное множество значений (x, y), где x = 3 - 2y.

в) Если a = 0, то система примет вид:
2x = 2
x = 1

Видим, что это противоречивая система, так как 2 не равно 1. Получается, что при a = 0 система уравнений не имеет решений.

Совет: Для понимания этого материала рекомендуется изучить основы решения систем линейных уравнений, методы подстановки и исключения переменных. Знание свойств и определений пропорциональных и идентичных уравнений также может быть полезным.

Задача на проверку: Найдите значения параметра "a", при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений:
3x + ay = a + y
x + 2y = 2a + 4

Тема: Решение системы уравнений с параметром "а"

Объяснение: Для определения количества решений системы уравнений с параметром "а", мы можем использовать метод определителей. В данной системе уравнений, у нас есть два уравнения и две неизвестных (x и y).

а) Для того, чтобы система имела только одно решение, определитель системы должен быть отличен от нуля. Давайте найдем определитель системы:

Δ = |2 a |
|a+1 2a|

Δ = (2*2a) - (a+1)*a = 4a - a^2 - a = -a^2 + 3a

Для того, чтобы Δ ≠ 0, квадратное уравнение -a^2 + 3a ≠ 0 должно иметь единственное решение. А это возможно только если у него есть неделимый корень. То есть, дискриминант D квадратного уравнения -a^2 + 3a должен быть равен нулю: D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-1)(-1) = 9 - 4 = 5. Так как D ≠ 0, то система имеет только одно решение.

б) Для того, чтобы система имела бесконечное множество решений, определитель системы должен быть равен нулю. Если Δ = 0, система будет иметь инфинитное множество решений. Вернемся к нашему определителю Δ = -a^2 + 3a и приравняем его к нулю:

-a^2 + 3a = 0

a(-a + 3) = 0

a = 0 или a = 3

Таким образом, если параметр a равен 0 или 3, система будет иметь бесконечное множество решений.

в) Для того, чтобы система не имела решений, коэффициенты при x и y в обоих уравнениях должны быть пропорциональными. Проверим, являются ли коэффициенты пропорциональными:

2/(a+1) = a/(2a)

Упрощаем выражение:

4a = a^2 + a

Переносим все в одну сторону:

a^2 - 3a = 0

a(a - 3) = 0

a = 0 или a = 3

Таким образом, если параметр a равен 0 или 3, система не имеет решений.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, важно знать, как использовать метод определителей и решать квадратные уравнения. Регулярная практика с такими задачами поможет вам лучше понять процесс решения и развить навыки в этой области.

Упражнение: Найдите решения системы уравнений 3x + ay = 2a и 2x + (a-1)y = a-3, если параметр a равен 2.