Какие значения n могут существовать, чтобы десятичная запись дроби 1n была периодичной без предпериода и имела

Содержание: Периодическое представление десятичных дробей

Пояснение: Дробь 1/n будет периодической без предпериода, если и только если n имеет простые делители только 2 и 5. Если n является произведением степеней 2 и/или 5 на другие простые числа, то дробь 1/n будет периодической, но с предпериодом. Минимальная длина периода зависит от наименьшей степени 10, которая равна 1 по модулю n. Это называется теоремой о периоде.

Доп. материал: Давайте рассмотрим число n = 7. Чтобы проверить, будет ли периодическое представление десятичной дроби 1/7 без предпериода, мы вычислим остатки от деления 10^k на 7 для всех значений k, начиная с 1, и проверим, есть ли повторения. Здесь остатки будут следующими: 10, 30, 20, 60, 40, 50. Поскольку остатки не повторяются, периодическое представление получится без предпериода.

Совет: Чтобы определить, является ли число n периодической десятичной дробью без предпериода, рассмотрите его простые делители. Если все простые делители n - это только 2 и 5, то периодическое представление будет без предпериода.

Задание для закрепления: Определите, являются ли следующие числа периодическими десятичными дробями без предпериода: а) 17; б) 12; в) 31.