Какие значения α должны быть равны, чтобы вектор d = a + b + c можно было представить в виде линейной комбинации

Суть вопроса: Линейная комбинация векторов

Пояснение: Линейная комбинация векторов представляет собой сумму этих векторов, умноженных на некоторые коэффициенты. В данной задаче, нам нужно найти значения коэффициентов α и β, при которых вектор d можно представить в виде линейной комбинации векторов a и b, то есть d = αa + βb.

Для начала, найдем вектор d, выполнив операцию сложения векторов a, b и c:
d = a + b + c = (3; -1) + (1; -2) + (-1; α) = (3 + 1 - 1; -1 - 2 + α) = (3; -3 + α).

Теперь у нас есть вектор d в виде (3; -3 + α). Чтобы представить его в виде линейной комбинации векторов a и b, нужно найти значения α и β, при которых d можно записать в виде d = αa + βb.

Для этого мы сравниваем координаты вектора d и линейной комбинации:
(3; -3 + α) = α(3; -1) + β(1; -2) = (3α; -α) + (β; -2β) = (3α + β; -α - 2β).

Теперь можно сравнить координаты обоих векторов:
3α + β = 3,
-α - 2β = -3 + α.

Из первого уравнения получаем, что β = 3 - 3α.
Подставим это значение β во второе уравнение:
-α - 2(3 - 3α) = -3 + α,
-α - 6 + 6α = -3 + α,
5α = 3,
α = 3/5.

Таким образом, для вектора d можно представить в виде линейной комбинации векторов a и b, значения α должны быть равны 3/5.

Совет: При решении задач по линейной комбинации векторов всегда помните о том, что вектор d является суммой всех векторов, поэтому равенство d = αa + βb должно быть верным для всех координат.

Задача для проверки: Представьте вектор d = (4; -1) в виде линейной комбинации векторов a = (2; -1) и b = (3; 2). Найдите значения α и β.