Какие натуральные числа n удовлетворяют условию, что десятичное представление дроби 1/n имеет периодическую запись

Тема занятия: Рациональные числа с периодической записью

Описание: Рациональными числами называются числа, которые могут быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Когда мы рассматриваем десятичную запись рациональных чисел, возможны три случая: конечная десятичная дробь, бесконечная не периодическая десятичная дробь и бесконечная периодическая десятичная дробь.

Если мы рассмотрим десятичное представление дроби 1/n, где n - натуральное число, то мы можем увидеть, что периодическая запись этой дроби может быть без предпериода (подлежит повторению с первой цифры) или с предпериодом (начинается после некоторого количества неповторяющихся цифр).

Минимальный период периодической записи 1/n может иметь длину l, если и только если число n делится на все простые числа p, такие что p - простое число и p несократимо с 10. То есть, запись 1/n периодическая тогда и только тогда, когда n делится на все простые числа p, для которых 10^(l) - 1 также делится на p.

Демонстрация: Найти все натуральные числа n, для которых десятичное представление дроби 1/n имеет минимальный период длиной 4.

Совет: Если вам нужно найти минимальный период десятичной записи дроби 1/n, можно воспользоваться свойствами деления и исследовать, при каких значениях n выполняется условие минимального периода.

Практика: Найти все натуральные числа n, для которых десятичное представление дроби 1/n имеет период длиной 3.