Какие координаты у точки В, если точки А и В являются симметричными относительно точки С, а А имеет координаты

Тема: Симметрия точек в трехмерном пространстве

Разъяснение: Чтобы найти координаты точки В, которая является симметричной относительно точки С, мы можем использовать свойство симметрии точек в трехмерном пространстве. Если точка В симметрична относительно точки С, то расстояние от точки А до С равно расстоянию от точки В до С.

Для нахождения координат точки В мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Где (x1, y1, z1) - координаты точки А, (x2, y2, z2) - координаты точки B, и d - расстояние между точками А и С (которое равно расстоянию между точками В и С).

Подставляя значения координат точек А и С в формулу, мы можем найти значение расстояния. Затем, используя это значение и координаты точки С, мы можем найти координаты точки В, решая уравнение.

Пример использования:
Заданы точки А (-3,5,-7) и С (6,2,-1). Найдем координаты точки В, которая является симметричной относительно точки С.

Решение:
1. Вычисляем расстояние между точками А и С:
$$d = \sqrt{(6 - (-3))^2 + (2 - 5)^2 + (-1 - (-7))^2}$$
$$d = \sqrt{9^2 + (-3)^2 + 6^2}$$
$$d = \sqrt{81 + 9 + 36}$$
$$d = \sqrt{126}$$
$$d \approx 11.22$$

2. Так как точка В симметрична относительно точки С, расстояние от В до С также равно 11.22. Пусть координаты точки В будут (x,y,z).

3. Используя формулу для расстояния между точками, запишем следующее уравнение:
$$11.22 = \sqrt{(6 - x)^2 + (2 - y)^2 + (-1 - z)^2}$$

4. Решим это уравнение для нахождения координат точки В:
$$125.84 = (6 - x)^2 + (2 - y)^2 + (-1 - z)^2$$
$$125.84 = x^2 + y^2 + z^2 - 12x - 4y + 2z + 41$$
$$x^2 + y^2 + z^2 - 12x - 4y + 2z - 84.84 = 0$$

Подставляем значения координат точки С в уравнение:
$$6^2 + 2^2 + (-1)^2 - 12 \cdot 6 - 4 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) - 84.84 = 0$$
$$36 + 4 + 1 - 72 - 8 - 2 - 84.84 = 0$$
$$-125.84 = 0$$

Видим, что это уравнение не имеет решений. Так как мы не можем найти координаты точки В, мы не можем сказать, является ли точка В симметричной относительно точки С.

Совет: Для лучшего понимания концепции симметрии точек в трехмерном пространстве, рекомендуется изучить также концепцию симметрии точек на плоскости (двумерное пространство). Это поможет улучшить понимание основных принципов симметрии и их применение в трехмерной геометрии.

Задание: Найдите координаты точки В, если точки А и В являются симметричными относительно точки С, а А имеет координаты (-2,4,7), а С имеет координаты (5,3,0).