Какие интегралы можно составить для определения площади фигуры, представленной на рисунках?

Тема вопроса: Интегралы для определения площади фигур

Пояснение: Для определения площади различных фигур можно использовать интегралы. Вот несколько примеров:

1. Интеграл по оси X: Если фигура представлена на плоскости и ограничена графиком функции y = f(x), где f(x) - непрерывная функция, то площадь под кривой на интервале [a, b] можно вычислить с помощью интеграла:

S = ∫[a, b] f(x) dx.

2. Интеграл по оси Y: Если фигура ограничена графиками функций x = g(y) и x = h(y), где g(y) и h(y) - непрерывные функции, то площадь между этих кривых на интервале [c, d] можно найти с помощью интеграла:

S = ∫[c, d] (h(y) - g(y)) dy.

3. Двойной интеграл: Для определения площади фигуры в пространстве можно использовать двойной интеграл. Например, если фигура ограничена поверхностями z = g(x, y) и z = h(x, y), где g(x, y) и h(x, y) - непрерывные функции, то площадь этой фигуры можно найти с помощью двойного интеграла:

S = ∬[D] (h(x, y) - g(x, y)) dA,

где D - область, на которой определена фигура, а dA - элемент площади на этой области.

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 и осью x на интервале [-1, 1].

Решение: Для этой задачи мы можем использовать интеграл по оси X:

S = ∫[-1, 1] x^2 dx.

Проинтегрируем это выражение:

S = [x^3/3] от -1 до 1 = (1^3/3) - (-1^3/3) = 2/3.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 и осью x на интервале [-1, 1], равна 2/3.

Совет: Для лучшего понимания хорошо изучить основы дифференциального и интегрального исчисления, а также методы нахождения площади фигур.

Ещё задача: Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = sin(x) и осью x на интервале [0, π].