Какие длины сторон прямоугольника с периметром 84 см нужно выбрать, чтобы получить прямоугольник с наибольшей площадью?

Тема: Максимальная площадь прямоугольника при заданном периметре

Объяснение: Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре, нужно соблюдать определенное соотношение между длиной и шириной прямоугольника. Для начала, определим формулы для периметра и площади прямоугольника:

Периметр прямоугольника: P = 2 * (a + b), где a и b - длины сторон прямоугольника.

Площадь прямоугольника: S = a * b.

Для нахождения прямоугольника с наибольшей площадью при заданном периметре 84 см, используем следующий подход:

1. Используя формулу периметра прямоугольника, заменяем значение периметра: 84 = 2 * (a + b).

2. Разрешаем формулу относительно одной переменной: a = (84 - 2b) / 2.

3. Подставляем это значение a в формулу площади: S = ((84 - 2b) / 2) * b.

4. Упрощаем формулу площади, раскрыв скобки и сократив: S = 42b - b^2.

5. Чтобы найти максимальное значение площади, находим вершину параболы, что делаем, выражая b через вершину параболы. Формула вершины параболы: b = -42 / (2 * -1) = 21.

6. Подставляем значение b в формулу для a: a = (84 - 2*21) / 2 = 21.

Таким образом, чтобы получить прямоугольник с наибольшей площадью при периметре 84 см, необходимо взять две равные стороны длиной 21 см.

Совет: Чтобы лучше понять, как находить прямоугольник с максимальной площадью, можно визуализировать задачу. Рисуйте прямоугольники с разными соотношениями длины и ширины и смотрите, как меняется площадь при изменении этих параметров.

Упражнение: Найдите прямоугольник с наибольшей площадью при периметре 60 см. Какие длина и ширина у этого прямоугольника?