Какая точка является максимумом для функции y = 2x4 – 4х2? Где возрастает функция y = 2x5?

Имя: Максимум и возрастание функций

Объяснение:
Для решения задачи нам нужно найти максимум функции y = 2x^4 - 4x^2 и определить, где возрастает функция y = 2x^5.

1. Для определения максимума функции y = 2x^4 - 4x^2, мы должны взять производную этой функции и найти точку, где производная равна нулю.

y = 2x^4 - 4x^2
y" = 8x^3 - 8x

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

8x^3 - 8x = 0
8x(x^2 - 1) = 0
x(x - 1)(x + 1) = 0

Из этого уравнения мы получаем три возможных значения для x: x = 0, x = 1 и x = -1. Эти значения являются критическими точками.

2. Чтобы определить, где функция y = 2x^5 возрастает, мы должны взять производную этой функции и найти интервалы, где производная положительна.

y = 2x^5
y" = 10x^4

Теперь мы должны найти интервалы, где производная положительна. Это означает, что функция возрастает на этих интервалах. Из уравнения y" = 10x^4 мы видим, что производная всегда положительна, поэтому функция y = 2x^5 возрастает на всей числовой прямой.

Пример:
1. Задача: Найдите максимум функции y = 3x^4 - 6x^2.
Решение: Для этой функции вычисляем производную, приравниваем его к нулю и находим критическую точку.

y" = 12x^3 - 12x

12x^3 - 12x = 0
12x(x^2 - 1) = 0
x(x - 1)(x + 1) = 0

Мы получаем x = 0, x = 1 и x = -1. Эти значения являются критическими точками. Для каждой критической точки, вычисляем значение функции y = 3x^4 - 6x^2. Мы получаем y(0) = 0, y(1) = -3 и y(-1) = -3.

Из этих значений мы видим, что максимум функции находится в точке (1, -3) и (-1, -3).

2. Задача: На каких интервалах функция y = 4x^5 - x^3 возрастает?
Решение: Вычисляем производную функции y = 4x^5 - x^3 и находим интервалы, где производная положительна.

y" = 20x^4 - 3x^2

Установим неравенство y" > 0 и решим его:

20x^4 - 3x^2 > 0
x^2(20x^2 - 3) > 0

Из этого неравенства мы получаем два интервала, где функция y = 4x^5 - x^3 возрастает: (-∞, -√(3/20)) и (√(3/20), +∞).

Совет:
- При решении задач на максимум и минимум функций, всегда начинайте с вычисления производной функции и нахождения критических точек. Это поможет вам определить, где точно находится максимум или минимум.
- Когда нужно определить, где функция возрастает или убывает, вычислите производную функции и найдите интервалы, где производная положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

Дополнительное упражнение:
Дана функция y = x^3 - 2x^2 - x + 2. Найдите точки экстремума и определите, на каких интервалах она возрастает или убывает.

Содержание: Максимум функции и возрастание

Описание: Для определения точки максимума функции нам потребуется найти ее производную и приравнять ее к нулю. Точка, в которой производная равна нулю или не существует, будет являться максимумом функции.

Дана функция y = 2x^4 – 4x^2. Для нахождения максимума, найдем производную этой функции.

y" = 8x^3 - 8x

Теперь приравняем производную к нулю и решим получившееся уравнение:

8x^3 - 8x = 0

Вынесем общий множитель:

8x(x^2 - 1) = 0

Теперь решим уравнение:

x = 0 или x^2 - 1 = 0

x = 0 или x^2 = 1

Отсюда получаем две возможные точки максимума: x = 0 и x = ±1. Чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения в исходную функцию:

y(0) = 2(0)^4 - 4(0)^2 = 0

y(1) = 2(1)^4 - 4(1)^2 = -2

y(-1) = 2(-1)^4 - 4(-1)^2 = -2

Таким образом, точки максимума функции y = 2x^4 – 4x^2 - это (0, 0), (1, -2) и (-1, -2).

Теперь рассмотрим функцию y = 2x^5. Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает, нам нужно найти производную и проверить ее знаки.

y" = 10x^4

Знак производной будет положительным, если x > 0, и отрицательным, если x < 0. Это означает, что функция возрастает на интервале x > 0.

Демонстрация:
a) Для функции y = 2x^4 – 4x^2, максимум достигается в точках (0, 0), (1, -2) и (-1, -2).
b) Функция y = 2x^5 возрастает на интервале x > 0.

Совет: Чтобы лучше понять функцию и ее поведение, можно построить ее график на координатной плоскости. Это поможет визуализировать точки максимума и понять, как функция возрастает.

Задача для проверки:
1) Найдите точки минимума для функции y = x^3 - 3x^2 + 2x.
2) Определите интервалы возрастания и убывания функции y = -4x^3 + 9x^2 - 6x + 1.