Какая абсцисса точки касания прямой y=12x+49 и графика функции y=2x^3−3x^2−24x+5?

Тема: Решение системы уравнений

Разъяснение: Для нахождения абсциссы точки касания прямой и графика функции, мы должны решить систему уравнений, в которой уравнение прямой y=12x+49 равно уравнению функции y=2x^3−3x^2−24x+5. Для начала, приравняем правые части уравнений:

12x + 49 = 2x^3 - 3x^2 - 24x + 5

Затем, приведем подобные слагаемые и получим:

2x^3 - 3x^2 - 36x + 44 = 0

Теперь нам нужно решить это кубическое уравнение. Для этого можно воспользоваться графическим методом или численными методами, однако здесь мы воспользуемся рациональным подходом и попытаемся найти рациональные корни уравнения с помощью подстановки возможных значений.

Используя метод проб и ошибок, можем найдем, что -1 является одним из корней уравнения. Разделив уравнение на (x + 1), мы получим:

(x + 1)(2x^2 - 5x + 44) = 0

(x + 1) = 0 или (2x^2 - 5x + 44) = 0

Отсюда находим вторую абсциссу:

x + 1 = 0 или 2x^2 - 5x + 44 = 0

x = -1 или x = (5 ± √17) / 4

Таким образом, точка касания прямой y=12x+49 и графика функции y=2x^3−3x^2−24x+5 имеет абсциссы -1 и (5 ± √17) / 4.

Совет: Для успешного решения таких задач рекомендуется знакомиться с основами алгебры, методами решения уравнений, в том числе кубических. Также полезно знать, как проводить подстановку найденных значений в исходные уравнения для проверки.

Задание для закрепления: Решите систему уравнений:
y = 2x + 1
y = x^2 - 3x - 4