Как записать комплексное число, у которого действительная и мнимая части равны соответственно: 1) -0,5 и √5; 2) ¼
Как записать комплексное число, у которого действительная и мнимая части равны соответственно: 1) -0,5 и √5; 2) ¼ и -1? Что такое модуль этих чисел и как построить их на комплексной плоскости? Какие арифметические действия нужно выполнить с числами -7+2i и 5-4i? Как вычислить выражения (2+3i)2 - ((2 -3i)2 и (3+4i)2 + (3 - 4i)2? Как разложить на множители выражения z2 - 2z + 10, 4z2 + 8z + 5? Как записать числа -2i: 3, √3- i, -√3+ i в тригонометрической форме?
24.12.2023 21:05
Написать свой ответ:
Комплексное число представляется в виде z = a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть, а i - мнимая единица.
1) Для числа -0,5 + √5i:
Записываем действительную и мнимую части в соответствующем виде: -0,5 + √5i.
2) Для числа 1/4 - i:
Записываем действительную и мнимую части в соответствующем виде: 1/4 - i.
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле |z| = √(a² + b²), где a - действительная часть, b - мнимая часть.
Чтобы построить комплексное число на комплексной плоскости, используется декартова система координат. Действительная часть числа является абсциссой, а мнимая - ординатой на плоскости.
Арифметические действия с комплексными числами выполняются по аналогии с обычными числами: сложение, вычитание, умножение, деление.
Для чисел -7 + 2i и 5 - 4i:
Сложение: (-7 + 2i) + (5 - 4i) = -2 - 2i.
Вычитание: (-7 + 2i) - (5 - 4i) = -12 + 6i.
Умножение: (-7 + 2i) * (5 - 4i) = -47 - 38i.
Деление: (-7 + 2i) / (5 - 4i) = (3/41) - (38/41)i.
Выражение (2 + 3i)² - (2 - 3i)²:
Раскрываем скобки и сокращаем подобные слагаемые: (2 + 3i)² - (2 - 3i)² = (4 + 12i + 9i²) - (4 - 12i + 9i²) = (4 + 12i - 9) - (4 - 12i - 9) = -14 + 24i.
Выражение (3 + 4i)² + (3 - 4i)²:
Раскрываем скобки и сокращаем подобные слагаемые: (3 + 4i)² + (3 - 4i)² = (9 + 24i + 16i²) + (9 - 24i + 16i²) = (9 + 24i - 16) + (9 - 24i - 16) = -14 + 0i.
Разложение на множители выражений z² - 2z + 10 и 4z² + 8z + 5:
z² - 2z + 10 = (z - 1 - 3i)(z - 1 + 3i).
4z² + 8z + 5 = (2z + 1)(2z + 5).
Числа -2i/3, √3 - i и -√3 + i в тригонометрической форме записываются как r·(cosθ + isinθ), где r - модуль числа, θ - аргумент числа.
-2i/3: r = | -2i/3 | = 2/3, θ = -π/2.
Таким образом, -2i/3 записывается как (2/3)(cos(-π/2) + isin(-π/2)).
√3 - i: r = | √3 - i | = √( (√3)² + 1² ) = 2, θ = -π/6.
Таким образом, √3 - i записывается как 2(cos(-π/6) + isin(-π/6)).
-√3 + i: r = | -√3 + i | = √( (-√3)² + 1² ) = 2, θ = 7π/6.
Таким образом, -√3 + i записывается как 2(cos(7π/6) + isin(7π/6)).
Exercise:
Вычислите произведение (-1 + i)(2 - 3i) и найдите его модуль.