Как посчитать длину дуги данной кривой x=4cos^3 t, y=4sin^3

Содержание вопроса: Длина дуги кривой

Описание: Для определения длины дуги кривой, данной уравнениями x=4cos^3 t и y=4sin^3 t, будем использовать формулу для длины дуги, которая выглядит следующим образом:

L = integral(sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)) dt,

где L - длина дуги кривой, dx/dt и dy/dt - производные x и y по t соответственно, а интеграл берется по промежутку t.

Вычислим производные dx/dt и dy/dt:

dx/dt = -12cos^2 t sin t,
dy/dt = 12sin^2 t cos t.

Теперь подставим производные в формулу для длины дуги и произведем соответствующие вычисления:

L = integral(sqrt((-12cos^2 t sin t)^2 + (12sin^2 t cos t)^2)) dt

Упростим подкоренное выражение:

L = integral(sqrt(144(cos^4 t sin^2 t + sin^4 t cos^2 t))) dt
= integral(sqrt(144sin^2 t cos^2 t)) dt
= 12 integral(sin t cos t) dt
= 12 integral((1/2)sin(2t)) dt
= 6 integral(sin(2t)) dt
= -6cos(2t) + C,

где C - постоянная.

Таким образом, длина дуги данной кривой равна -6cos(2t) + C.

Доп. материал: При t = π/2, длина дуги кривой равна -6cos(π) + C = 6 + C.

Совет: Для понимания данной темы, необходимо быть знакомым с понятием производной функции и использованием интегралов. Рекомендуется также практиковать решение подобных задач, чтобы лучше понять процесс вычисления длины дуги.

Дополнительное упражнение: Вычислите длину дуги кривой с уравнениями x=2cos^2 t, y=3sin t на интервале от t=0 до t=π/2.