Как описывается последовательность натуральных чисел x1,x2... xn? Как считаются x2,x3,x4? Как можно доказать

Содержание: Последовательности натуральных чисел

Описание:

Последовательность натуральных чисел представляет собой набор чисел, упорядоченных по возрастанию. Обозначается она как x1, x2, x3 и т.д., где xi - это i-й член последовательности.

Для нахождения следующего члена последовательности, мы увеличиваем индекс i на единицу и получаем xi+1. Например, чтобы найти x2, мы берем число, следующее за x1. Аналогично, чтобы найти x3, мы берем число, следующее за x2, и так далее.

Теперь рассмотрим доказательство по индукции для выражения xn = 1/2^n - 1 при n ≥ 1.

Шаг 1: Базовый случай: Проверим утверждение для n = 1.

Подставляя n = 1 в выражение, мы получаем:
x1 = 1/2^1 - 1 = 1/2 - 1 = 1/2 - 2/2 = -1/2.

В данном случае, выражение xn = 1/2^n - 1 не выполняется для n = 1.

Шаг 2: Предположение: Предположим, что для некоторого k ≥ 1, выражение xn = 1/2^n - 1 выполняется для всех n ≤ k.

Шаг 3: Индукционный переход: Докажем выражение для n = k + 1, используя предположение.

Подставим n = k + 1 в выражение xn = 1/2^n - 1:
x(k+1) = 1/2^(k+1) - 1.

Разложим правую часть выражения:
x(k+1) = 1/2 * 1/2^k - 1 = 1/2^(k+1) - 1/2.

Выражение 1/2^(k+1) - 1/2 можно упростить:
x(k+1) = 1/2^(k+1) - 2/2 * 1/2^k = 1/2^(k+1) - 2/2^(k+1) = (1 - 2)/2^(k+1) = -1/2^(k+1).

Таким образом, мы доказали, что xn = 1/2^n - 1 для всех n ≥ 1, используя принцип математической индукции.

Совет: Для лучшего понимания математической индукции, рекомендуется проводить несколько примеров, используя различные значения n и следуя шагам доказательства.

Дополнительное упражнение: Найдите члены последовательности x1, x2, x3 для данного выражения: xn = 3n - 2.