Как найти решение для интеграла ∫(3*2+x^2+(4x-16)dx/3) с корнем из x^2-3x+2?

Тема: Решение интеграла с корнем в знаменателе

Объяснение: Данное задание требует нахождения решения интеграла, в котором присутствует корень в знаменателе. Для таких интегралов необходимо применять метод подстановки.

Для начала заметим, что корень из x^2 - 3x + 2 можно представить в виде (x - 1)(x - 2). Поэтому заменим корень на эти множители и получим новое выражение: ∫(3*2+x^2+(4x-16)dx/[(x - 1)(x - 2)]).

Теперь приступим к подстановке. Пусть u = x - 1. Тогда производная от u будет равна du = dx.

Исходный интеграл теперь примет вид: ∫(3*2+(u + 1)^2+(4(u + 1)-16)du/[(u)(u + 1)]).

После раскрытия скобок получим: ∫(3*2+u^2+2u+1+4u+4-16)du/[(u)(u + 1)].

Сократим подобные слагаемые: ∫(u^2+6u-9)du/[(u)(u + 1)].

Теперь мы можем разделить текст на два интеграла: ∫(u/[(u)(u + 1)])du + ∫([(u+9)/[(u)(u + 1)])du.

Первый интеграл равен ∫(1/[u + 1])du и может быть решен простым способом: ln|u + 1|.

Второй интеграл требует применения метода частичных дробей. Его результат будет также представлен в виде натурального логарифма.

После нахождения интеграла, не забудьте вернуться к исходной переменной x, а не u.

Пример использования: Найдите решение для интеграла ∫(3*2+x^2+(4x-16)dx/3) с корнем из x^2-3x+2.

Совет: Чтобы лучше понять процесс решения интегралов с корнями в знаменателе, рекомендуется изучить метод подстановки и метод частичных дробей.

Упражнение: Найдите решение для интеграла ∫((x^3 + 2x)/(√(x^2 - 4))dx).