Как найти корни уравнения sin^2(x/4)-cos^2(x/4)=sin(5p/2-x) на отрезке [5p/2; 4p]?

Тема: Решение уравнения sin^2(x/4)-cos^2(x/4)=sin(5π/2-x) на отрезке [5π/2; 4π]

Пояснение: Чтобы найти корни данного уравнения, первым шагом будем переписывать уравнение в более удобной форме. Заметим, что sin^2(x/4)-cos^2(x/4) можно переписать с использованием тригонометрических формул в виде sin^2(x/4) - (1 - sin^2 (x/4)) = sin(5π/2 - x).

Упростив это выражение, получим 2sin^2(x/4)-1 = sin(5π/2 - x). Если провести замену переменной u = x/4, то уравнение примет вид 2sin^2u - 1 = sin(5π/2 - 4u).

Мы также знаем, что на отрезке [5π/2; 4π] угол 5π/2 - 4u охватывает весь период синуса. Значит, уравнение будет иметь корни на этом отрезке.

Далее, применим формулу двойного угла sin2u = 2sinu*cosu. Подставим эту формулу в уравнение: 2(2sinu*cosu) - 1 = sin(5π/2 - 4u).

Получим 4sinu*cosu = sin(5π/2 - 4u) + 1. А дальше, воспользуемся формулой синуса разности sin(a - b) = sinacosb-cosasinb: 4sinu*cosu = cos4u*sin5π/2 - cos4u + 1.

Подставив u = x/4, получим 4sin(x/4)*cos(x/4) = cos(x)*sin(5π/2) - cos(x) + 1.

Сокращая sin(5π/2) и приводя подобные слагаемые, упростим до cos(x) - 4sin(x/4)*cos(x/4) + 1 = 0.

Таким образом, мы привели исходное уравнение к виду cos(x) - 4sin(x/4)*cos(x/4) + 1 = 0 на отрезке [5π/2; 4π].

Пример использования: Найдите корни уравнения sin^2(x/4)-cos^2(x/4)=sin(5π/2-x) на отрезке [5π/2; 4π].

Совет: Для успешного решения уравнений с тригонометрическими функциями, всегда хорошо знать основные тригонометрические тождества и уметь применять их.

Упражнение: Найдите корни уравнения sin^2(x/5)-cos^2(x/5)=sin(7π-x) на отрезке [7π; 3π].