Как найти длину полуосей, координаты фокусов и вершин, уравнения асимптот, а также острый угол между асимптотами

Гиперболы

Описание:
Для нахождения длины полуосей, координат фокусов и вершин, уравнений асимптот и острого угла между асимптотами гиперболы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Нормализуйте уравнение гиперболы, чтобы коэффициенты при x^2 и y^2 были равны 1.
В данном случае, разделим уравнение на 275 и получим следующую форму: (11/275)x^2 - (25/275)y^2 - 1 = 0.

2. Сравните уравнение с канонической формой гиперболы: (x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1.
В данном случае, a^2 получается путем взятия обратной величины коэффициента при x^2, b^2 получается путем взятия обратной величины коэффициента при y^2.

3. Найдите центр гиперболы, используя значения h и k из канонической формы уравнения.
Центр гиперболы будет иметь координаты (h, k).

4. Длина полуосей гиперболы равна a и b из канонической формы гиперболы.

5. Чтобы найти координаты фокусов и вершин, используйте следующие формулы:
- Фокусы: координаты фокусов гиперболы будут иметь значения (h±c, k), где с^2 = a^2 + b^2.
- Вершины: вершины гиперболы будут находиться на главных осях и будут иметь координаты (h±a, k) и (h, k±b).

6. Чтобы найти уравнения асимптот, используйте следующие формулы:
- Горизонтальные асимптоты: y = k±(b/a)(x-h).
- Вертикальные асимптоты: x = h±(a/b)(y-k).

7. Острый угол между асимптотами можно найти с помощью следующей формулы:
- Острый угол = arctg(|b/a|).

Демонстрация:
У нас дано уравнение гиперболы 11х^2-25y^2-275=0. Чтобы найти длину полуосей, координаты фокусов и вершин, уравнения асимптот и острый угол между асимптотами, нам нужно сначала нормализовать уравнение, сравнить его с канонической формой, найти центр гиперболы, длину полуосей, фокусы и вершины, уравнения асимптот и острый угол.
После всех вычислений мы получим полезную информацию о гиперболе и сможем построить ее.

Совет:
Чтобы лучше понять процесс нахождения всех этих характеристик гиперболы, рекомендуется решить несколько примеров, используя различные уравнения гиперболы. Также полезно разобраться в определениях и свойствах гиперболы.

Упражнение:
Дано уравнение гиперболы: 16x^2 - 9y^2 - 144 = 0.
Найдите длину полуосей, координаты фокусов и вершин, уравнения асимптот и острый угол между асимптотами для этой гиперболы.