Как можно решить примеры по тождественным преобразованиям тригонометрических выражений?

Тема: Решение примеров по тождественным преобразованиям тригонометрических выражений

Инструкция: Решение примеров по тождественным преобразованиям тригонометрических выражений заключается в применении специальных тождеств, которые позволяют упростить выражение до более простой формы. Существует несколько основных тождеств:

1. Тождество суммы и разности (синуса или косинуса): sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b); cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)

2. Тождество удвоенного аргумента (синуса или косинуса): sin(2a) = 2sin(a)cos(a); cos(2a) = cos^2(a) − sin^2(a) = 2cos^2(a) − 1 = 1 − 2sin^2(a)

3. Тождество половинного аргумента (синуса или косинуса): sin(a/2) = ±√((1 − cos(a))/2); cos(a/2) = ±√((1 + cos(a))/2)

Для решения примеров нужно использовать эти тождества и применять их шаг за шагом, подставляя значения и упрощая выражения до возможных. Важно запомнить эти тождества и их применение.

Например: Решить задачу: упростите выражение sin(3x)cos(2x).

Решение: Используем тождество суммы и разности: sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b).

Дано: sin(3x)cos(2x).

Можем заменить sin(3x) на sin(x + 2x): sin(3x)cos(2x) = sin(x + 2x)cos(2x).

Применим тождество суммы и разности: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).

Получаем: sin(x + 2x)cos(2x) = (sin(x)cos(2x) + cos(x)sin(2x))cos(2x).

Теперь можем упростить: sin(x)cos(2x) + cos(x)sin(2x) = sin(x)(cos(2x) + 2cos(x)sin(x)).

Таким образом, получили упрощенное выражение: sin(3x)cos(2x) = sin(x)(cos(2x) + 2cos(x)sin(x)).

Совет: Для успешного решения примеров по тождественным преобразованиям тригонометрических выражений рекомендуется хорошо усвоить основные тождества и принцип их применения. Также полезно тренироваться на большом количестве задач, чтобы закрепить навыки.

Задание для закрепления: Упростите выражение cos(4x)sin(3x).