Как можно решить неравенство 1,25 в степени 8x-5 больше, чем 0,8 в степени 3x+2?

Неравенство с показательными функциями

Объяснение: Чтобы решить данное неравенство, необходимо использовать свойства показательных функций и методы решения неравенств.

1. Приведем оба выражения к общему основанию, чтобы было возможно их сравнение.
1,25 в степени 8x-5 и 0,8 в степени 3x+2 имеют разные основания (1,25 и 0,8). Приведем их к общему основанию, чтобы они были сравнимы.
Заметим, что 1,25 = 5/4, а 0,8 = 4/5.
Поэтому мы можем записать данное неравенство в виде: (5/4) в степени 8x-5 > (4/5) в степени 3x+2.

2. Используем свойство показательной функции, согласно которому (a^m)^n = a^(m*n).
Применим это свойство для исходных выражений:
((5/4) в степени 8)^(x-5) > ((4/5) в степени 3)^(x+2).

3. Преобразуем выражения в четырехмерность:
(5^(8(x-5)))/(4^(8(x-5))) > (4^(3(x+2)))/(5^(3(x+2))).

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на (4^(8(x-5))) и второй дроби на (5^(3(x+2))).
Тогда получим:
5^(8(x-5)) > 4^(8(x-5)) * 4^(3(x+2)) / 5^(3(x+2)).

5. Применим свойства показательной функции, согласно которым a^m * a^n = a^(m+n) и a^m / a^n = a^(m-n).
Сократим выражение:
5^(8(x-5)) > 4^(8(x-5) + 3(x+2)) / 5^(3(x+2)).

6. Последовательно рассмотрим каждую сторону неравенства. Возведем числа в указанные степени:
5^(8x-40) > 4^(8x-40 + 3x+6) / 5^(3x+6).

7. Упростим численные выражения справа:
5^(8x-40) > 4^(11x-34) / 5^(3x+6).

8. Применим свойство показательной функции с отраженными степенями, согласно которому a^(-b) = 1/a^b:
5^(8x-40) > 4^(11x-34) * 5^(-3x-6).

9. Уберем знаменатель справа умножением на 5^(3x+6):
5^(8x-40) * 5^(3x+6) > 4^(11x-34).

10. Применим свойство показательной функции a^m * a^n = a^(m+n):
5^(8x-40 + 3x+6) > 4^(11x-34).

11. Упростим выражения:
5^(11x-34) > 4^(11x-34).

12. Наше неравенство сводится к тому, что основания на обеих сторонах неравенства равны.
5^(11x-34) = 4^(11x-34).

13. Применяем логарифмы к обеим частям неравенства, чтобы избавиться от показательных функций:
Log(5^(11x-34)) = Log(4^(11x-34)).

14. Воспользуемся свойством логарифмов, согласно которому Log(a^b) = b * Log(a):
(11x-34) * Log(5) = (11x-34) * Log(4).

15. Распределим равенство:
(11x-34) * (Log(5) - Log(4)) = 0.

16. Данное уравнение достигает равенства, когда (11x-34) = 0.
Решим его:
11x-34 = 0;
11x = 34;
x = 34/11.

Совет: При решении неравенств с показательными функциями всегда старайтесь привести выражения к общему основанию и использовать свойства показательной функции для упрощения выражений.

Задание для закрепления: Решите неравенство (3/2)^(4x)+2 ≤ (2/3)^(3x+5).