Как доказать, что точки A(11; 3; 5), B(5; 3; -7), C(-5; -5; -11) и D(1; -5; 1) образуют ромб?

Тема: Доказательство образования ромба

Разъяснение: Чтобы доказать, что точки A(11; 3; 5), B(5; 3; -7), C(-5; -5; -11) и D(1; -5; 1) образуют ромб, нам нужно проверить два условия. Во-первых, необходимо убедиться, что все стороны ромба равны друг другу, а во-вторых, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу.

1. Для проверки равенства сторон рассчитаем длины отрезков AB, BC, CD и DA, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Расстояние между точками A и B: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
AB = √((5 - 11)² + (3 - 3)² + (-7 - 5)²) = √(36 + 0 + 144) = √180

Расстояние между точками B и C: BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
BC = √((-5 - 5)² + (-5 - 3)² + (-11 - (-7))²) = √(100 + 64 + 16) = √180

Расстояние между точками C и D: CD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
CD = √((1 - (-5))² + (-5 - (-5))² + (1 - (-11))²) = √(36 + 0 + 144) = √180

Расстояние между точками D и A: DA = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
DA = √((11 - 1)² + (3 - (-5))² + (5 - 1)²) = √(100 + 64 + 16) = √180

Мы видим, что все стороны AB, BC, CD и DA имеют одинаковую длину √180, следовательно, стороны ромба равны друг другу.

2. Чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны, рассмотрим векторы AB и BC. Если скалярное произведение этих векторов равно нулю, то диагонали перпендикулярны.

Вектор AB: (5 - 11, 3 - 3, -7 - 5) = (-6, 0, -12)
Вектор BC: (-5 - 5, -5 - 3, -11 - (-7)) = (-10, -8, -4)

Скалярное произведение векторов AB и BC: (-6 * -10) + (0 * -8) + (-12 * -4) = 60 + 0 + 48 = 108 != 0

Мы видим, что скалярное произведение векторов AB и BC не равно нулю, значит, диагонали не перпендикулярны друг другу.

Исходя из наших вычислений, стороны ромба равны, но диагонали не перпендикулярны. Значит, точки A(11; 3; 5), B(5; 3; -7), C(-5; -5; -11) и D(1; -5; 1) не образуют ромб.

Совет: При решении подобных задач важно внимательно проверять все условия, чтобы избежать ошибок. Также полезно использовать графические представления и строить фигуры на бумаге или с помощью программного обеспечения, чтобы визуализировать проблему.

Упражнение: Даны точки E(2; 4; 6), F(4; 10; 2), G(8; 2; 10) и H(6; -4; 14). Докажите, что эти точки образуют ромб.