Исправьте следующие утверждения о системе m линейных уравнений с n неизвестными, учитывая, что ранг матрицы этой

Тема урока: Система линейных уравнений с матрицей

Описание:
а) Если n > m, то система может иметь бесконечное число решений или не иметь решений вовсе. Это зависит от определенных условий задачи. Количество переменных (неизвестных) (n) больше, чем количество уравнений (m), что означает, что система является переопределенной. В этом случае ранг расширенной матрицы системы может быть больше, чем ранг самой матрицы системы.

б) Если m > n, то система может быть несовместной (не иметь решений) или иметь бесконечное число решений. В этом случае количество уравнений (m) больше, чем количество переменных (n), и система является недоопределенной. Если ранг матрицы системы (k) равен рангу расширенной матрицы (p), это может означать, что система имеет бесконечное число решений.

в) Если система имеет хотя бы одно решение, то ранг расширенной матрицы системы (p) будет равен рангу самой матрицы системы (k). Это связано с определением ранга и свойствами матриц.

г) Если ранг расширенной матрицы (p) равен рангу матрицы системы (k) и количество переменных (n) больше ранга матрицы системы (k), то система будет иметь бесконечное число решений. Это связано с недоопределенной системой, где количество уравнений недостаточно для определения значений всех переменных.

Доп. материал:
a) Неправильное утверждение. Система может иметь бесконечное число решений или не иметь решений.
б) Неправильное утверждение. Система может быть несовместной или иметь бесконечное число решений.
в) Правильное утверждение. Ранг расширенной матрицы (p) равен рангу матрицы системы (k) при наличии хотя бы одного решения.
г) Правильное утверждение. Ранг расширенной матрицы (p) равен рангу матрицы системы (k), и система имеет бесконечное число решений при n > k.

Совет:
Для лучшего понимания систем линейных уравнений и их свойств рекомендуется изучить материал о матрицах, рангах матриц, и применении метода Гаусса для решения систем.

Проверочное упражнение:
Дана система линейных уравнений с 3 неизвестными и 2 уравнениями:

2x + y - 3z = 5
3x - 2y + z = 1

а) Определите ранг матрицы системы.
б) Определите ранг расширенной матрицы.
в) Можно ли сказать, что система имеет единственное решение?
г) Можно ли сказать, что система имеет бесконечное число решений?

Пожалуйста, напишите детальные пошаговые ответы для каждого пункта упражнения.