Исправьте разрыв функции: 1) y=(x^4-x^3+4x)/x^2; 2) y=(x^2+x-6)/(x-2); найдите область определения и точки разрыва

Суть вопроса: Разрывы функций

Описание:
Разрывы функций возникают, когда функция испытывает разрыв в определенной точке, что означает, что значения функции в этой точке не определены или несогласованы. Существует несколько типов разрывов функций: вертикальные разрывы, непрерывные разрывы (скачок) и разрывы определения.

1) Для заданной функции y = (x^4 - x^3 + 4x)/x^2, есть разрыв в точке x = 0. Чтобы исправить этот разрыв, мы можем сократить x в числителе и знаменателе, получая упрощенную функцию: y = (x^3 - x^2 + 4)/x.

2) Для функции y = (x^2 + x - 6)/(x - 2), разрыв возникает в точке x = 2, так как знаменатель становится равным нулю. Чтобы исправить разрыв, можно сократить (x - 2) в числителе и знаменателе, получая упрощенную функцию: y = x + 3.

Областью определения функции является множество значений x, при которых функция определена. Для каждой функции область определения может отличаться.

б) Для функции y = x^2/(x^3 - 2x^2 - 8x), область определения определяется исключая значения x, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае знаменатель равен нулю при x = 0, x = 4 и x = -2. Область определения будет состоять из всех остальных значений x.

г) Для функции y = 1/(1 - x), знаменатель (1 - x) должен быть не равен нулю. Поэтому областью определения будет все значения x, кроме x = 1.

Демонстрация:

1) Исправить разрыв функции y = (x^4 - x^3 + 4x)/x^2: y = (x^3 - x^2 + 4)/x.

2) Исправить разрыв функции y = (x^2 + x - 6)/(x - 2): y = x + 3.

Совет:
При решении задач на разрывы функций важно проанализировать знаменатель и найти значения x, при которых он равен нулю. Такие точки будут являться возможными точками разрыва функции. Далее необходимо упростить функцию, чтобы устранить разрывы и найти область определения.

Упражнение:
3) Найдите область определения и точки разрыва функции: y = (2x^3 - 6x^2 + 12)/(x^2 - 4x + 4).

Функция с разрывом:

Объяснение: Разрыв функции происходит, когда функция становится неопределенной или несуществующей в определенных точках. Это может произойти, когда знаменатель функции равен нулю или выражение внутри корня становится отрицательным. Чтобы найти и исправить разрыв функции, нужно найти такие точки.

1) y=(x^4-x^3+4x)/x^2

Для этой функции разрыв возникает в точке x=0, так как знаменатель равен x^2 и равняется нулю при x=0. Чтобы исправить разрыв, мы можем упростить функцию, раскладывая многочлен числителя по формуле разности кубов:

y=(x^2(x^2-x+4))/x^2

Исключаем x^2 из числителя и знаменателя и получаем:

y=x^2-x+4

2) y=(x^2+x-6)/(x-2)

Для этой функции разрыв возникает в точке x=2, так как знаменатель равен x-2 и равняется нулю при x=2. Чтобы исправить разрыв, мы можем упростить функцию, разложив ее на множители:

y=((x-2)(x+3))/(x-2)

Исключаем (x-2) из числителя и знаменателя и получаем:

y=x+3

Совет: Для нахождения разрывов функции, нужно найти значения x, при которых знаменатель равен нулю. Обратите внимание на знаки функции и исключите общие множители, чтобы получить упрощенное выражение без разрывов.

Закрепляющее упражнение: Найдите разрывы функции и исправьте их, если это возможно.
а) y=(x^3+2x^2-8x)/(x-2)
б) y=(x+1)/(x^2-4)
в) y=(x^2-9)/(x^2+3x-10)