Given vectors a, b, and c, you need to: a) calculate the cross product of the three vectors; b) find the magnitude

Суть вопроса: Кросс-произведение и скалярное произведение векторов

Пояснение:
a) Для вычисления кросс-произведения трех векторов a, b и c используем формулу: a × b = (aybz - azby)i - (axbz - azbx)j + (axby - aybx)k. Заменяем компоненты векторов и выполняем вычисления.

b) Для нахождения модуля кросс-произведения |a × b| применяем формулу: |a × b| = √((aybz - azby)² + (axbz - azbx)² + (axby - aybx)²). Заменяем компоненты векторов и вычисляем значение.

c) Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется с помощью формулы: a · b = axbx + ayby + azbz. Производим замену компонент векторов и выполняем вычисления.

d) Для проверки, являются ли два вектора коллинеарными или ортогональными, выполняем скалярное произведение этих векторов. Если результат равен 0, то векторы ортогональны. Если результат равен ±|a||b|, то векторы коллинеарны.

e) Чтобы проверить, являются ли три вектора компланарными, мы создаем матрицу из компонент векторов. Если определитель этой матрицы равен 0, то векторы компланарны.

Дополнительный материал:
a) a, 3b, c
a × b = (3)(1)i - (2)(4)j + (2)(1)k = 3i - 8j + 2k
|a × b| = √(3² + (-8)² + 2²) = √(9 + 64 + 4) = √77
a · c = (2)(5) + (-3)(2) + (1)(-3) = 10 - 6 - 3 = 1
a × c = (2)(-3) - (-3)(5) + (1)(2) = -6 + 15 + 2 = 11
a · 3b = (2)(3)(1) + (-3)(3)(4) + (1)(3)(0) = 6 - 36 + 0 = -30

Совет: Чтобы с легкостью выполнить данные вычисления, рекомендуется повторить правила кросс-произведения и скалярного произведения векторов и проконсультироваться со своим учителем, если возникнут сложности.

Задача на проверку: Вычислите значения, заполнив пропущенные поля:
a) a, 2b, 3c
b) 3a, -7b
c) c, -2a
d) a, c
e) 3a, 2b, 3c