Докажите, что выражение xy + 4 - квадрат целого числа, если задано выражение 1/x + 1/y + 1/xy, где x и y - натуральные

Тема: Доказательство, что выражение xy + 4 является квадратом целого числа

Объяснение:
Для начала, давайте рассмотрим заданное выражение 1/x + 1/y + 1/xy. У нас дано, что x и y являются натуральными числами.

Когда число x увеличивается на 4 и число y уменьшается на 4, нам нужно показать, что значение выражения 1/x + 1/y + 1/xy не изменяется.

Рассмотрим исходное выражение 1/x + 1/y + 1/xy и заменим x на (x + 4) и y на (y - 4):

1/(x+4) + 1/(y-4) + 1/((x+4)(y-4))

Нам нужно показать, что это выражение равно исходному выражению 1/x + 1/y + 1/xy.

Уравнение будет выглядеть следующим образом:

1/(x+4) + 1/(y-4) + 1/((x+4)(y-4)) = 1/x + 1/y + 1/xy

Чтобы доказать равенство, умножим оба выражения на xy(x+4)(y-4), чтобы избавиться от дробей:

xy(x+4)(y-4)(1/(x+4) + 1/(y-4) + 1/((x+4)(y-4))) = xy(x+4)(y-4)(1/x + 1/y + 1/xy)

После сокращения получим:

y(x+4) + x(y-4) + xy = (x+4)(y-4)

Раскрываем скобки:

xy + 4y + xy - 4x + xy = xy - 4x + 4y - 16

Проводим сокращения:

4y + 12xy - 4x = 4y - 16 - 4x

4y + 12xy = -16

Дальше уже чисто алгебраические действия. Выносим 4 в общий знаменатель:

4(y + 3xy) = -16

Делим обе части равенства на 4:

y + 3xy = -4

Из этого получаем:

xy + 4 = (-4)²

Таким образом, мы доказали, что выражение xy + 4 является квадратом целого числа.

Пример использования:
Пусть x = 3, y = 8. Тогда данное выражение превращается в (3*8) + 4, что равно 28.

Совет:
Одним из способов лучше понять и решать подобные задачи - это проводить алгебраические преобразования, чтобы упростить выражения и вывести их в более удобную форму. Также обратите внимание на законы арифметики и свойства чисел, чтобы использовать их в процессе преобразования.

Упражнение:
Докажите, что если x и y являются целыми числами такими, что x + y = -6, то (x+3)(y-2) = 20.