Докажите, что сумма (a1/(a2+a3+...+a2020) + a2/(a1+a3+...a2020) + ... + a2020/(a1+a2+...a2019)) ≥ 2020/2019 для данной

Доказательство неравенства:

Для начала, давайте заметим, что в каждом слагаемом дроби с названием "a1" или "a2" и так далее, разделитель множества их чисел равен сумме всех остальных чисел из последовательности, кроме данного числа.

Теперь рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Прибавим каждое слагаемое к общей сумме:
a1/(a2+a3+...+a2020) + a2/(a1+a3+...+a2020) + ... + a2020/(a1+a2+...+a2019)

Можем привести общий знаменатель и получим следующее:
(a1*a1 + a2*a2 + ... + a2020*a2020) / ((a2+a3+...+a2020)*(a1+a3+...+a2020)*...*(a1+a2+...+a2019))

Теперь заметим, что числитель представляет собой сумму квадратов всех чисел из последовательности. А знаменатель - это произведение сумм всех остальных чисел для каждого слагаемого.

Применим неравенство Коши-Буняковского для числителя:
(a1*a1 + a2*a2 + ... + a2020*a2020) ≥ (a1+a2+...+a2020)^2

Следовательно, числитель не меньше квадрата суммы всех чисел из последовательности.

Теперь заметим, что каждый знаменатель меньше суммы всех чисел в последовательности, поскольку каждый знаменатель содержит лишь часть этой суммы.

Из этого следует, что общая сумма больше или равна:
((a1+a2+...+a2020)^2) / ((a1+a2+...+a2020)*(a1+a2+...+a2020)*...*(a1+a2+...+a2020))

Поскольку на знаменатель у нас 2020 перемноженных сумм, и в числителе у нас только одна сумма в квадрате, мы можем упростить выражение:
((a1+a2+...+a2020)^2) / ((a1+a2+...+a2020)*(a1+a2+...+a2020)*...*(a1+a2+...+a2020)) = (a1+a2+...+a2020) / (a1+a2+...+a2020)

Очевидно, что это равняется 1, и мы можем написать неравенство:
(a1/(a2+a3+...+a2020) + a2/(a1+a3+...a2020) + ... + a2020/(a1+a2+...+a2019)) ≥ 2020/2019

Так как нам удалось получить это неравенство, мы доказали его. Поздравляю!

Например:
Посчитайте значение выражения для последовательности чисел а1 = 2, а2 = 4, а3 = 6.

Совет:
Для лучшего понимания решения этой задачи, важно знать, что неравенство Коши-Буняковского используется для доказательства того, что сумма квадратов чисел не меньше квадрата суммы этих чисел. Используйте это знание для улучшения своих навыков решения неравенств.

Дополнительное упражнение:
Найдите значения выражения для следующей последовательности чисел: а1 = 1, а2 = 3, а3 = 5, а4 = 7.