Докажите, что разность между любыми двумя числами из последовательности 2, 4, 8, 16, ..., 2^100 делится нацело

Математика: Доказательство деления разности нацело

Объяснение: Для доказательства того, что разность между любыми двумя числами из данной последовательности делится нацело, мы можем использовать математические свойства степеней. Заметим, что каждое следующее число в последовательности получается умножением предыдущего числа на 2. То есть, каждый элемент последовательности можно представить как 2 в степени n, где n - номер элемента.

Пусть элемент i имеет значение 2 в степени i-1, а элемент j имеет значение 2 в степени j-1 (i < j). Тогда разность между этими числами будет равна 2 в степени j-1 минус 2 в степени i-1.

Мы можем переписать это выражение в виде: 2^(j-1) - 2^(i-1) = 2^(i-1)(2^(j-i) - 1).

Заметим, что 2^(j-i) - 1 является целым числом, поскольку разность степеней двойки всегда будет делиться на 2^(i-1).

Таким образом, наше выражение 2^(j-1) - 2^(i-1) является произведением целого числа на 2^(i-1), что означает, что оно делится нацело.

Например: Докажите, что разность между 16 и 4 в последовательности 2, 4, 8, 16, ..., 2^100 делится нацело.
Решение: Здесь i = 2, j = 4. Подставим значения в наше выражение: 2^(4-1) - 2^(2-1) = 2^3 - 2^1 = 8 - 2 = 6. Мы видим, что 6 является целым числом, значит, разность между 16 и 4 делится нацело.

Совет: Для лучшего понимания этой темы рекомендуется ознакомиться с основами степеней и деления чисел нацело.

Дополнительное задание: Докажите, что разность между 64 и 2 в последовательности 2, 4, 8, 16, ..., 2^100 также делится нацело.