Что является наибольшим и наименьшим значением функции f(x)=2x^3+3x^2-36x на интервале [-4

Содержание: Значения функции на интервале

Разъяснение: Для решения данной задачи, мы должны найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =2x^3+3x^2-36x на заданном интервале [-4, +∞). Для этого мы можем использовать процесс дифференцирования и анализа производной функции.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по x, для чего применим правила дифференцирования:
f"(x) = 6x^2 + 6x - 36

Шаг 2: Решим уравнение f"(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.

6x^2 + 6x - 36 = 0

Шаг 3: Решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

x = (-6 ± √(6^2 - 4 * 6 * -36)) / (2 * 6)

x = (-6 ± √(36 + 864)) / 12

x = (-6 ± √900) / 12

x = (-6 ± 30) / 12

x1 = (-6 + 30) / 12 = 24 / 12 = 2

x2 = (-6 - 30) / 12 = -36 / 12 = -3

Шаг 4: Определим, являются ли критические точки экстремумами. Для этого мы можем использовать вторую производную тестирования.

f""(x) = 12x + 6

Подставим значения x = 2 и x = -3 для определения характера экстремума.

f""(2) = 12 * 2 + 6 = 24 + 6 = 30 (положительное значение, значит, точка (2, f(2)) является локальным минимумом).

f""(-3) = 12 * -3 + 6 = -36 + 6 = -30 (отрицательное значение, значит, точка (-3, f(-3)) является локальным максимумом).

Шаг 5: Определим значение функции на границах интервала.

f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = -128 + 48 + 144 = 64

Шаг 6: Сравним все найденные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале [-4, +∞).

- Наименьшим значением является -128, достигнуто в точке (-4, f(-4)).
- Наибольшим значением является 64, достигнуто в точке (-3, f(-3)).

Демонстрация: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3+3x^2-36x на интервале [-4, +∞).

Совет: Для лучшего понимания, можно построить график функции f(x) и использовать его для нахождения экстремумов и значения на границах интервала.

Ещё задача: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции g(x) = x^4 + 5x^3 - 12x^2 на интервале [-2, 2].