Чему равно решение логарифмического уравнения logx4+1/2 logx^2 64=5?

Тема занятия: Решение логарифмического уравнения

Пояснение: Для решения данного логарифмического уравнения нам понадобится знание некоторых свойств логарифмов. Давайте начнем с приведения уравнения к более удобному виду.

Имеем уравнение: logₓ4 + 1/2 logₓ²64 = 5

Сначала воспользуемся свойством логарифмов: logₐb + logₐc = logₐ(bc)

Применим это свойство к первому слагаемому уравнения: logₓ4 = logₓ(2²) = 2logₓ2

Затем применим это же свойство ко второму слагаемому: 1/2 logₓ²64 = 1/2 logₓ(8²) = logₓ8

Теперь заменим эти значения в исходном уравнении: 2logₓ2 + logₓ8 = 5

Заменим логарифмы в уравнении на экспоненты: x^(2logₓ2) * x^logₓ8 = x^5

Применим свойство экспоненты x^a * x^b = x^(a+b): x^4 * x^3 = x^5

Теперь уравнение принимает вид: x^7 = x^5

Так как основание логарифма x больше 0 и не равно 1, то можно сократить обе части уравнения на x^5.

Получаем: x^7 / x^5 = 1

Сокращаем степени: x^(7-5) = 1

Таким образом, x² = 1. Из этого следует, что x = ±1.

Например: Решите логарифмическое уравнение: logₓ4 + 1/2 logₓ²64 = 5.

Совет: Важно помнить основные свойства логарифмов и экспонент, чтобы успешно решать подобные уравнения. Регулярная практика и повторение помогут вам усвоить эти концепции лучше.

Задание: Решите логарифмическое уравнение: logₓ(5x^2) + logₓ(2x) - logₓ(8) = 3.