А) Найдите координаты центра сферы и ее радиус, если дано уравнение: x2 + y2 − 4⋅y + z2 − 4⋅z −1=0. Ответ: Центр сферы

Тема: Уравнение сферы

Инструкция:
Уравнение сферы имеет общую форму: (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r², где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

a) Для нахождения координат центра и радиуса сферы по данному уравнению, мы должны привести уравнение к общему виду. В данном случае, мы сдвигаем координаты y и z, чтобы коэффициенты перед x², y² и z² были равны 1. После уравнение примет вид:

(x-0)² + (y-2)² + (z-2)² = 0 + 4 + 0 - 4 - 0 + 1

(x-0)² + (y-2)² + (z-2)² = 1

Сравниваем общую форму уравнения с имеющимся и получаем, что центр сферы O имеет координаты (0; 2; 2), а радиус R равен 1.

б) Для формулирования уравнения сферы с известными координатами центра и точки B, мы также используем общую форму уравнения сферы. Подставим значения координат центра и точки B в формулу:

(4-2)² + (2-0)² + (2-1)² = r²

2² + 2² + 1² = r²

4 + 4 + 1 = r²

9 = r²

Уравнением сферы будет (x-4)² + (y-2)² + (z-2)² = 9.

Дополнительный материал:
а) Дано уравнение сферы: x² + y² - 4y + z² - 4z - 1 = 0. Найдите координаты центра сферы и ее радиус.
б) Известно, что сфера имеет центр O(4;2;2) и точку B(2;0;1), лежащую на сфере. Сформулируйте уравнение сферы.

Совет:
Помните, что общая форма уравнения сферы (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r² позволяет определить центр и радиус сферы. Если даны координаты центра и точки на сфере, вы можете использовать эти значения, чтобы определить уравнение сферы.

Практика:
Найдите координаты центра и радиус сферы по уравнению: x² + y² + z² - 6x - 4y - 2z + 9 = 0.