2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство sin(2x+pi/3) ≤ 1/2 на интервале (0; 2п)?

Тема: Решение неравенств с помощью тригонометрических функций

Объяснение: Для решения данной задачи, мы должны найти все целочисленные решения неравенства sin(2x+pi/3) ≤ 1/2 на интервале (0; 2п).

Для начала, давайте найдем все значения функции sin(2x+pi/3), которые меньше или равны 1/2. Зная, что значения синуса изменяются от -1 до 1, мы можем ограничить наше решение значениями функции в диапазоне (-1, 1/2].

Заметим, что sin(2x+pi/3) достигает своего максимального значения (1) при 2x+pi/3 = п/2+kп (k - целое число), а своего минимального значения (-1) при 2x+pi/3 = 3п/2+kп.

Теперь мы можем записать уравнения для решения:

1) 2x+pi/3 = п/2+kп, где k - целое число
2) 2x+pi/3 = 3п/2+kп, где k - целое число

Подставляя значения k=0, k=1 и k=2 в уравнение 1, получим следующие значения для x: -pi/6, п-п/6, 2п-п/6.
Подставляя значения k=0 и k=1 в уравнение 2, получим следующие значения для x: -5п/6, п-5п/6.

Итак, на интервале (0; 2п), неравенство sin(2x+pi/3) ≤ 1/2 имеет 4 целочисленных решения: -pi/6, п-п/6, 2п-п/6, -5п/6.

Демонстрация: Найдите все целочисленные решения неравенства sin(2x+pi/3) ≤ 1/2 на интервале (0; 2п).

Совет: Чтобы лучше понять решение неравенства с тригонометрической функцией, обратите внимание на период функции и ее значения в тех точках, которые образуют границы интервала.

Дополнительное задание: Найдите все целочисленные решения неравенства cos(3x) > 0 на интервале (0; 2п).