16.40. В комнате, где температура воздуха составляет 20°, тело охлаждается с 100° до 60°. Если скорость охлаждения тела

Тема: Закон охлаждения тела

Инструкция: Закон охлаждения тела гласит, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разности его температуры и температуры окружающей среды. В данной задаче у нас есть следующие данные: начальная температура тела (100°), конечная температура тела (60°) и температура окружающего воздуха (20°).

Мы можем записать закон охлаждения тела в виде дифференциального уравнения: dT/dt = k(T - 20), где T - температура тела в момент времени t, k - коэффициент пропорциональности.

Теперь, чтобы найти время, необходимое для остывания тела до 30°, мы должны решить данное дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями (т = 0, T = 100).

Решая данное уравнение, мы получаем T(t) = 20 + 80*exp(-kt), где exp - это функция экспоненты.

Теперь подставляем значение 30° для T(t) и решаем уравнение относительно времени t.

20 + 80*exp(-kt) = 30

80*exp(-kt) = 10

exp(-kt) = 0.125

-kt = ln(0.125)

t = -ln(0.125)/k

Теперь осталось только найти значение k, для этого мы можем использовать начальные условия и исходные данные.

Подставляем T = 100 и t = 0 в уравнение T(t) = 20 + 80*exp(-kt) и решаем уравнение относительно k.

100 = 20 + 80*exp(-k*0)

80*exp(0) = 100 - 20

80*1 = 80

Таким образом, k = 1.

Теперь подставляем это значение в уравнение для времени и решаем:

t = -ln(0.125)/1

t ≈ -(-2.079)/1

t ≈ 2.079

Таким образом, для того чтобы тело остыло до 30°, потребуется около 2.079 единиц времени.

Например: Какое время потребуется для остывания тела с 100° до 30°, если закон охлаждения тела задается уравнением dT/dt = k(T-20)?

Задача на проверку: В комнате, в которой температура воздуха составляет 25°, тело охлаждается с 80° до 50°. Если скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающего воздуха, то какое время понадобится для того, чтобы тело остыло до 30°?