1. What is the sum and product of the roots of the equation: a) x?- 17x +60 =0; b) x2 + 3x – 40 = 0; c) 5x2 +x -3

1. Сумма и произведение корней уравнения:
a) Дано уравнение x² - 17x + 60 = 0.
Для нахождения суммы и произведения корней, нам понадобятся коэффициенты этого уравнения. Здесь a = 1, b = -17, c = 60.
Сумма корней может быть найдена по формуле: S = -b/a. Подставляя значения коэффициентов, получаем S = 17/1 = 17.
Произведение корней может быть найдено по формуле: P = c/a. Подставляя значения коэффициентов, получаем P = 60/1 = 60.
Таким образом, сумма корней этого уравнения равна 17, а их произведение равно 60.

b) Дано уравнение x² + 3x - 40 = 0.
Здесь a = 1, b = 3, c = -40.
Сумма корней: S = -b/a = -3/1 = -3.
Произведение корней: P = c/a = -40/1 = -40.
Таким образом, сумма корней равна -3, а произведение -40.

c) Дано уравнение 5x² + x - 3 = 0.
Здесь a = 5, b = 1, c = -3.
Сумма корней: S = -b/a = -1/5.
Произведение корней: P = c/a = -3/5.
Таким образом, сумма корней равна -1/5, а произведение -3/5.

d) Дано уравнение 4x² - 5x = 0.
Здесь a = 4, b = -5, c = 0.
Сумма корней: S = -b/a = 5/4.
Произведение корней: P = c/a = 0.
Таким образом, сумма корней равна 5/4, а произведение -0.

Дополнительный материал: Найдите сумму и произведение корней уравнения: x² - 8x + 12 = 0.
Совет: Для определения суммы и произведения корней, используйте формулы S = -b/a и P = c/a.
Задание: Найдите сумму и произведение корней уравнения: 2x² - 9 = 0.

2. Квадратное уравнение с заданными корнями:
Для записи квадратного уравнения с корнями x₁ и x₂, мы используем формулу: (x - x₁)(x - x₂) = 0.
В данном случае, когда x₁ = -1 и x₂ = 3, квадратное уравнение будет выглядеть так:
(x - (-1))(x - 3) = 0.
Упрощая это, получим:
(x + 1)(x - 3) = 0.
Таким образом, квадратное уравнение, имеющее корни равные -1 и 3, записывается как (x + 1)(x - 3) = 0.

Дополнительный материал: Запишите квадратное уравнение с корнями: x₁ = 2 и x₂ = -5.
Совет: Для записи квадратного уравнения с заданными корнями, используйте формулу (x - x₁)(x - x₂) = 0.
Задание: Запишите квадратное уравнение с корнями -2 и 7.

3. Второй корень квадратного уравнения:
Для нахождения второго корня квадратного уравнения, если известен один из корней, можно воспользоваться формулой: x₂ = S/a - x₁, где S - сумма корней, a - коэффициент при x², x₁ - известный корень.
В данном случае, у нас дано уравнение 7x² - 11x - 6 = 0, и нам известно, что один корень равен 2. Мы должны найти второй корень.
Сначала найдем сумму корней по формуле: S = -b/a, где b - коэффициент при x, a - коэффициент при x². В данном случае S = -(-11)/7 = 11/7.
Затем подставим известные значения в формулу: x₂ = S/a - x₁ = (11/7)/7 - 2.
Вычислив это, получим второй корень x₂.

Дополнительный материал: Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения: x² - 8x + 15 = 0.
Совет: Используйте формулу x₂ = S/a - x₁ для нахождения второго корня квадратного уравнения, если известен один из корней.
Задание: Один из корней квадратного уравнения равен -4. Найдите второй корень уравнения: x² + 6x - 16 = 0.

4. Определение знаков корней уравнения:
Для определения знаков корней уравнения нужно проанализировать знаки коэффициентов при каждой степени x.
a) Дано уравнение x² - 13x - 11 = 0. Здесь a = 1, b = -13, c = -11.
Знаки коэффициентов: a > 0, b < 0, c < 0.
Следовательно, у этого уравнения имеются два корня с разными знаками.

b) Дано уравнение x² + 17x - 93 = 0. Здесь a = 1, b = 17, c = -93.
Знаки коэффициентов: a > 0, b > 0, c < 0.
Следовательно, у этого уравнения имеются два корня с одинаковыми знаками.

c) Дано уравнение 3x² - √3x - 3y² = 0. Здесь a = 3, b = -√3, c = -3y².
Знаки коэффициентов: a > 0, b < 0, c < 0.
Следовательно, у этого уравнения имеются два корня с разными знаками.

Дополнительный материал: Определите знаки корней уравнения: x² + 5x + 6 = 0.
Совет: Анализируйте знаки коэффициентов при каждой степени x для определения знаков корней уравнения.
Задание: Определите знаки корней уравнения: 2x² - 3x + 1 = 0.

5. Нахождение корней уравнения методом проб и ошибок:
Для нахождения корней уравнения методом проб и ошибок, мы можем подставлять различные значения x и проверять, равно ли уравнение нулю.
a) Дано уравнение y - By + 6 = 0.
Подставим различные значения y и найдем, при каком значении уравнение равно нулю.

b) Дано уравнение s² - 8s - 9 = 0.
Подставим различные значения s и найдем, при каком значении уравнение равно нулю.

Дополнительный материал: Найдите корни уравнения методом проб и ошибок: x² - 5x + 4 = 0.
Совет: Подставляйте различные значения переменной и находите корни уравнения, проверяя равенство уравнения нулю.
Задание: Найдите корни уравнения методом проб и ошибок: x² + 2x - 3 = 0.

6. Нахождение площади прямоугольника:
Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину на ширину.
Для прямоугольника со сторонами a и b, его площадь S вычисляется по формуле: S = a * b.

Дополнительный материал: Найдите площадь прямоугольника, если его длина равна 6 и ширина равна 8.
Совет: Для нахождения площади прямоугольника, умножьте его длину на ширину.
Задание: Найдите площадь прямоугольника, если его длина равна 10 и ширина равна 5.