1) Предложить формулу для общего члена последовательности cos1, cos2/2, cos3/3, cos4/4... 2) Исследовать свойства

Тема занятия: Последовательности

Разъяснение:
1) Формула для общего члена последовательности cos1, cos2/2, cos3/3, cos4/4... имеет вид: a_n = cos(n)/n, где n - номер члена последовательности. Разделив каждый член на n, мы получаем убывающую последовательность, где каждый следующий член становится меньше предыдущего, поскольку cos(n) ограничен сверху и n растет.

2) Свойства последовательности:
- Монотонность: данная последовательность является убывающей, так как a_n > a_n+1 для всех n.
- Ограниченность: ограниченность последовательности можно показать, используя ограниченность функции cos(n) и деление на n. Функция cos(n) ограничена в диапазоне [-1, 1], а деление на n делает каждый член последовательности меньше единицы. Таким образом, каждый член последовательности ограничен диапазоном [-1/n, 1/n].
- Сходимость: предел последовательности можно найти, используя предел функции cos(n)/n при n стремящемся к бесконечности. Здесь предел равен нулю, так как функция cos(n) ограничена, а n стремится к бесконечности. Таким образом, предел последовательности равен 0.

3) Формула для общего члена последовательности 1/2, - 2/2^2, 3/2^3, - 4/2^4... имеет вид: b_n = (-1)^(n+1)n/(2^n), где n - номер члена последовательности. Здесь мы получаем чередующуюся последовательность, где каждый член меняет знак и увеличивается в зависимости от значения n.

4) Свойства последовательности:
- Монотонность: данная последовательность является чередующейся. Знаки членов чередуются, т.е. b_n * b_n+1 < 0 для всех n.
- Ограниченность: для определения ограниченности каждого члена последовательности можно использовать ограниченность деления на 2^n и множитель (-1)^(n+1)n. Первый множитель делает каждый член меньше 1/n, а второй множитель ограничивает члены последовательности по модулю (без учета знака) значениями от 1 до бесконечности. Таким образом, каждый член последовательности ограничен диапазоном [-1/n, 1/n].
- Сходимость: предел последовательности можно найти, используя свойства чередующейся последовательности и ограниченность членов последовательности. Здесь предел не является конечным, так как члены последовательности не стремятся к одному фиксированному значению. Однако, последовательность имеет предельные точки 0 и 1/n для четных и нечетных значений n соответственно.

Доп. материал:
1) Для значения n=5, мы можем вычислить член последовательности a_5 = cos(5)/5.
2) Для свойства сходимости, мы можем найти предел последовательности a_n при n стремящемся к бесконечности.
3) Для значения n=3, мы можем вычислить член последовательности b_3 = (-1)^(3+1)3/(2^3).
4) Для свойства ограниченности, мы можем определить диапазон значений членов последовательности b_n.

Совет: Чтобы лучше понять исследуемую последовательность, вы можете построить ее график или вычислить несколько членов последовательности вручную. Это поможет вам заметить закономерности в последовательности и лучше понять ее свойства.

Задание: Найдите предел последовательности a_n = cos(n)/n при n стремящемся к бесконечности.