1. Определить стационарные точки функции: f(x) = (x^5)/5 - (4/3)*x^3 + 9 2. Определить экстремумы функции: а) f(x

Стационарные точки функции:

Функция f(x) имеет стационарные точки там, где производная равна нулю или не существует. Чтобы найти стационарные точки функции f(x) = (x^5)/5 - (4/3)*x^3 + 9, нам понадобится найти производную функции и приравнять её к нулю.

f"(x) = (x^4) - 4x^2

Теперь решим уравнение f"(x) = 0:

(x^4) - 4x^2 = 0

(x^2)(x^2 - 4) = 0

x^2 = 0 или x^2 - 4 = 0

Если x^2 = 0, то x = 0.

Если x^2 - 4 = 0, то x^2 = 4, и x может быть равным -2 или 2.

Таким образом, стационарные точки функции f(x) = (x^5)/5 - (4/3)*x^3 + 9 равны x = -2, x = 0 и x = 2.

Экстремумы функции:

Чтобы найти экстремумы функции, нам необходимо проанализировать производную функции и исследовать её на точки перегиба.

а) Функция f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17 имеет производную

f"(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x

Мы должны приравнять производную к нулю:

12x^3 + 12x^2 - 24x = 0

12x(x^2 + x - 2) = 0

12x(x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, экстремумы функции f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17 равны x = 0, x = -2 и x = 1.

б) Функция f(x) = x^3 + 3/x - 12 имеет производную

f"(x) = 3x^2 - 3/x^2

Мы должны приравнять производную к нулю:

3x^2 - 3/x^2 = 0

3x^4 - 3 = 0

x^4 - 1 = 0

(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0

Таким образом, экстремумы функции f(x) = x^3 + 3/x - 12 равны x = -1 и x = 1.

Интервалы возрастания и убывания функции:

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 2, нам необходимо проанализировать производную функции.

f"(x) = 6x^2 - 18x + 12

Мы должны найти значения x, при которых производная положительна (функция возрастает) и значение x, при которых производная отрицательна (функция убывает).

Для этого решим уравнение f"(x) = 0:

6x^2 - 18x + 12 = 0

x^2 - 3x + 2 = 0

(x - 1)(x - 2) = 0

Таким образом, значения x, при которых производная равна нулю, равны x = 1 и x = 2.

Мы знаем, что функция убывает на интервалах, где производная отрицательна, и возрастает на интервалах, где производная положительна.

Таким образом, интервалы возрастания функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 2 находятся между -∞ и x = 1, а интервалы убывания находятся между x = 1 и x = 2, и между x = 2 и +∞.

Наибольшее и наименьшее значения функции:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = (-1/3)*x^3 + (7/2)*x^2 - 10x + 9 на отрезке [0;3], мы должны вычислить значения функции на концах отрезка и в стационарных точках.

f(0) = 9

f(3) = -1

f(-2) = 63/2

f(-1) = 95/6

f(2) = -13/3

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0;3] равно 9, а наименьшее значение равно -1.

Построить график функции:

График функции f(x) = -x^3 + 3x^2 можно построить, используя координатную плоскость.

Определим значение функции для нескольких значений x:

Точка A: x = -2, f(x) = -16
Точка B: x = -1, f(x) = -5
Точка C: x = 0, f(x) = 0
Точка D: x = 1, f(x) = 0
Точка E: x = 2, f(x) = 4
Точка F: x = 3, f(x) = 9

Теперь нарисуем график, отметив эти точки на координатной плоскости и проведя плавную кривую через них. График будет выглядеть как парабола, открытая вниз.

F
|
|
|
E /
|
|
S ________________0_______________> x
|
|
|
C /
|
|
|
B /
|
|
|
A /


График функции f(x) = -x^3 + 3x^2 является параболой, открытой вниз, с вершиной в точке C(0, 0).