1. Найдите значение модуля вектора, если его скалярный квадрат равен 20. 2. Найдите острый угол ромба, у которого

Задача 1:
Описание: Модуль вектора можно найти путем извлечения квадратного корня из скалярного квадрата вектора. Скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его компонент. В данном случае, пусть вектор имеет компоненты (x, y, z), тогда:

x^2 + y^2 + z^2 = 20

Чтобы найти значение модуля вектора, нам нужно найти квадратный корень из 20.

Демонстрация: Если скалярный квадрат вектора равен 20, то значение модуля вектора будет sqrt(20) или примерно 4.47.

Совет: При решении подобных задач, всегда сначала найдите скалярный квадрат вектора, затем возьмите корень из него для нахождения модуля.

Задача для проверки: Найдите значение модуля вектора, если его скалярный квадрат равен 16.

Задача 2:
Описание: Острый угол ромба можно найти, используя координаты его вершин. Для этого найдем векторы AB и AC, а затем используем формулу для нахождения угла между векторами:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|),

где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC,
|AB| и |AC| - модули векторов AB и AC.

Демонстрация: Пусть AB = (7-14, 3-(-8), -1-(-1)) = (-7, 11, 0) и AC = (-6-14, 4-(-8), -1-(-1)) = (-20, 12, 0).
|AB| = sqrt((-7)^2 + 11^2 + 0^2) = sqrt(170) и |AC| = sqrt((-20)^2 + 12^2 + 0^2) = sqrt(544).
AB · AC = (-7 * -20) + (11 * 12) + (0 * 0) = 140 + 132 + 0 = 272.

cos(θ) = 272 / (sqrt(170) * sqrt(544)) ≈ 0.828.

Теперь мы можем найти острый угол ромба, используя тригонометрическую функцию arccos:

θ = arccos(0.828) ≈ 34.38 градусов.

Совет: Помните, что для нахождения острого угла ромба, вычисляемого по координатам его вершин, требуется использовать скалярное произведение векторов.

Задача для проверки: Найдите острый угол ромба, вершины которого заданы координатами A(-2; 4; 1), B(1; -5; -2), C(4; 2; 3), D(1; -6; 2).

Задание 3:
a) Описание: Уравнение сферы с центром в начале координат будет иметь следующий вид:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2,

где r - радиус сферы.

Поскольку плоскость x = 2 является касательной к сфере, значит, она касается ее только в одной точке. Координаты этой точки будут (2, y0, z0), где y0 и z0 - неизвестные. Подставляя эти координаты в уравнение сферы, получаем:

2^2 + y0^2 + z0^2 = r^2.

Демонстрация: Найдем уравнение сферы с центром в начале координат, если плоскость x = 3 касается этой сферы. В данном случае, уравнение будет иметь вид 3^2 + y0^2 + z0^2 = r^2.

Совет: Когда плоскость касается сферы, значит, уравнение этой сферы будет содержать координаты точки касания.

Задача для проверки: Найдите уравнение сферы с центром в начале координат, если плоскость y = 4 касается этой сферы.

b) Описание: Чтобы найти координаты центра сферы и ее радиус, имея уравнение сферы вида x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0, мы должны следовать следующим правилам:

1) Координаты центра сферы будут равны (-D/2, -E/2, -F/2).
2) Радиус сферы будет равен sqrt((-D/2)^2 + (-E/2)^2 + (-F/2)^2 - G).

Демонстрация: Для уравнения -4x + y^2 + z^2 = 0, координаты центра сферы будут (2, 0, 0) и радиус будет sqrt((2^2 + 0^2 + 0^2) - 0) = 2.

Совет: При решении подобных задач вычисления центра и радиуса сферы основываются на уравнении сферы вида x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0.

Задача для проверки: Найдите координаты центра сферы и радиус, если задано уравнение x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 12 = 0.

Задание 4:
a) Описание: Векторы a и b перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Поэтому, чтобы проверить, перпендикулярны ли векторы a(4, 3, -6) и b(1, -2, 9), мы должны посчитать их скалярное произведение и проверить, равно ли оно нулю.

a · b = 4*1 + 3*(-2) + (-6)*9 = 4 - 6 - 54 = -56

Скалярное произведение не равно нулю, поэтому векторы a и b не перпендикулярны.

Демонстрация: Проверьте, перпендикулярны ли векторы a(2, -3, 5) и b(-1, -4, 2).

Совет: При проверке перпендикулярности векторов, вычислите их скалярное произведение и проверьте, равно ли оно нулю.

Задача для проверки: Проверьте, перпендикулярны ли векторы a(3, 1, -2) и b(2, -6, 9).

b) Описание: Чтобы показать, что векторы a(1, 2р, g) и c(-(4р^2 + g^2), 2p, g) не зависят от констант p и g, мы должны показать, что любая замена p и g не влияет на сами векторы a и c, то есть в самом векторе a и c коэффициенты p и g не играют роли.

Давайте заменим p на новую константу p1 и g на новую константу g1:

a1 = (1, 2p1, g1)
c1 = (-(4p1^2 + g1^2), 2p1, g1)

Мы видим, что замена p и g на p1 и g1 не меняет координаты векторов a и c, поэтому они действительно не зависят от констант p и g.

Демонстрация: Докажите, что векторы a(2, 3p, g) и c(-(2p^2 + g^2), 5p, 2g) не зависят от констант p и g.

Совет: Чтобы показать, что векторы не зависят от констант, замените константы на новые и проверьте, сохраняются ли они векторы.

Задача для проверки: Покажите, что векторы a(4, p, -2) и c(-4p^2, 2, -2) не зависят от константы p.