1. На изображении куба расположены векторы. Определите углы между следующими парами векторов, отложив их от одной

Тема занятия: Векторы в пространстве

Объяснение:
1. Углы между векторами в пространстве определяются с помощью скалярного произведения векторов и тригонометрических функций. Чтобы определить угол между двумя векторами, векторы откладываются от одной точки, и затем используются формулы для вычисления углов.
2. Скалярное произведение (скалярное перемножение) векторов определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Для векторов геометрические координаты, как на рисунке, можно выразить как:
С1А1 = (1, 2, -3) и АС = (2, -1, 4).
Формула для вычисления скалярного произведения векторов:
С1А1 · АС = 1 * 2 + 2 * (-1) + (-3) * 4 = 2 - 2 - 12 = -12.
3. Соотнесение положения двух векторов с углом между ними:
a↑↑b - Угол между a и b = 90° (векторы параллельны и сонаправлены).
a↑↓b - Угол между a и b = 0° (векторы параллельны и противонаправлены).
a | b - Угол между a и b = 180° (векторы перпендикулярны и сонаправлены).

Доп. материал:
1. а) Угол между векторами Б1Б и Б1С.
Вектор Б1Б = (1, 0, 0) и вектор Б1С = (0, 1, 0).
Угол между векторами Б1Б и Б1С можно найти, используя формулу скалярного произведения:
cos(угол) = Б1Б · Б1С / (|Б1Б| * |Б1С|)
Б1Б · Б1С = 1 * 0 + 0 * 1 + 0 * 0 = 0
|Б1Б| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1
|Б1С| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1
cos(угол) = 0 / (1 * 1) = 0
Угол = arccos(0) ≈ 90°.
Ответ: Угол между векторами Б1Б и Б1С ≈ 90°.

Совет: Для лучшего понимания векторов в пространстве рекомендуется изучить основные понятия и формулы геометрии, связанные с векторами и трехмерным пространством. Также полезно нарисовать схему, чтобы наглядно представить векторы и углы между ними.

Задача для проверки:
Вычислите скалярное произведение векторов АА1 и С1С, используя данные на рисунке.
АА1 = (2, 1, 4) и С1С = (3, -2, 1).
Каков результат скалярного произведения?