1. Каковы математическое ожидание и дисперсия числа гербов при 7 бросках монеты? 2. Чему равна дисперсия случайной

Математическое ожидание и дисперсия в случайных величинах
1. Каковы математическое ожидание и дисперсия числа гербов при 7 бросках монеты?

Математическое ожидание (среднее значение) - это сумма произведений значений случайной величины на их вероятности, в данном случае числа гербов при 7 бросках монеты. Для броска монеты есть два исхода, орел (О) и решка (Р), при чем вероятности каждого составляют 0,5.

Математическое ожидание (число гербов) = (0 x 0,5) + (1 x 0,5) + (2 x 0,5) + (3 x 0,5) + (4 x 0,5) + (5 x 0,5) + (6 x 0,5) + (7 x 0,5) = 3,5.

Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно её среднего значения. Для нахождения дисперсии нужно вычислить сумму квадратов разностей между каждым значением случайной величины и её математическим ожиданием, умноженных на их вероятности.

Дисперсия числа гербов = ((0-3,5)^2 x 0,5) + ((1-3,5)^2 x 0,5) + ((2-3,5)^2 x 0,5) + ((3-3,5)^2 x 0,5) + ((4-3,5)^2 x 0,5) + ((5-3,5)^2 x 0,5) + ((6-3,5)^2 x 0,5) + ((7-3,5)^2 x 0,5) = 1,75.

2. Чему равна дисперсия случайной величины X, представляющей число выпавших очков при броске игрального кубика?

Для броска игрального кубика вероятность выпадения каждого числа (от 1 до 6) равна 1/6.

Математическое ожидание числа выпавших очков = (1 x 1/6) + (2 x 1/6) + (3 x 1/6) + (4 x 1/6) + (5 x 1/6) + (6 x 1/6) = 3,5.

Дисперсия числа выпавших очков = ((1-3,5)^2 x 1/6) + ((2-3,5)^2 x 1/6) + ((3-3,5)^2 x 1/6) + ((4-3,5)^2 x 1/6) + ((5-3,5)^2 x 1/6) + ((6-3,5)^2 x 1/6) = 2,9167.

3. Каковы математическое ожидание и дисперсия числа бракованных изделий в партии из 5000, если вероятность брака для каждого изделия составляет 0,02?

Вероятность брака для каждого изделия составляет 0,02.
Количество бракованных изделий в партии может изменяться от 0 до 5000.

Математическое ожидание числа бракованных изделий = 5000 x 0,02 = 100.

Дисперсия числа бракованных изделий = 5000 x 0,02 x (1-0,02) = 98.

4. Каковы центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков для случайной величины X, заданной вероятностями: P(X=3)=0,2 и P(X=5)=0,8?

Центральный момент первого порядка равен нулю, так как это математическое ожидание n-го возведенного в степень значения случайной величины, как уже обсуждали ранее.

Центральный момент второго порядка (дисперсия) равен (3-4)^2 x 0,2 + (5-4)^2 x 0,8 = 1,6.

Центральный момент третьего порядка равен (3-4)^3 x 0,2 + (5-4)^3 x 0,8 = -0,4.

Центральный момент четвертого порядка равен (3-4)^4 x 0,2 + (5-4)^4 x 0,8 = 1,6.

Доп. материал:
1. Математическое ожидание и дисперсия числа гербов при 7 бросках монеты?
Математическое ожидание = 3,5, Дисперсия = 1,75.
2. Чему равна дисперсия случайной величины X, представляющей число выпавших очков при броске игрального кубика?
Дисперсия = 2,9167.
3. Каковы математическое ожидание и дисперсия числа бракованных изделий в партии из 5000, если вероятность брака для каждого изделия составляет 0,02?
Математическое ожидание = 100, Дисперсия = 98.
4. Каковы центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков для случайной величины X, заданной вероятностями: P(X=3)=0,2 и P(X=5)=0,8?
Дисперсия = 1,6, Центральный момент третьего порядка = -0,4, Центральный момент четвертого порядка = 1,6.

Совет: Чтобы лучше понять эти понятия, полезно рассмотреть визуализацию или провести свои собственные эксперименты с помощью бросков монеты, игральных кубиков или других подобных игр. Это поможет вам получить интуитивное понимание того, как работают среднее значение и разброс для случайных событий.

Задание для закрепления: Что будет, если увеличить количество бросков монеты до 100? Как изменятся математическое ожидание и дисперсия числа гербов?