1. Каковы координаты вектора AB, если даны точки A(-3; 1; -1) и B(2; -4; 1)? и Какова длина вектора AB? 2. Каковы

Содержание вопроса: Векторы в трехмерном пространстве
Разъяснение:
1. Для нахождения координат вектора AB, мы вычитаем координаты точки A из координат точки B. Координаты вектора AB будут: AB = (2 - (-3); -4 - 1; 1 - (-1)) = (5; -5; 2).
Длина вектора AB может быть найдена с использованием формулы: d = √(x^2 + y^2 + z^2). Подставляя значения координат вектора AB, получим: d = √(5^2 + (-5)^2 + 2^2) = √(25 + 25 + 4) = √54 = 3√6.

2. Если даны разложения векторов A и B, то вектор C может быть найден как сумма векторов A и B. Запишем вектор C = A + B. Подставляем значения координат векторов A и B: C = (i - 3j + k) + (-2i + r) = (-2i + i) + (-3j + 0j) + (k + r) = -i - 3j + (k + r). Таким образом, координаты вектора C будут: C = (-1; -3; k + r).

3. Чтобы найти расстояние от начала координат до середины отрезка AB, необходимо найти координаты середины отрезка AB и вычислить длину вектора от начала координат до этой точки.
Для нахождения координат середины отрезка, мы берем среднее значение координат точек A и B. Координаты середины отрезка AB будут: M = ((1 + (-2))/2; (2 + 4)/2; (-1 + 1)/2) = (-1/2; 3; 0).
Длина вектора OM, где O - начало координат, может быть вычислена с использованием формулы: d = √(x^2 + y^2 + z^2). Подставим значения координат точки M, чтобы найти расстояние: d = √((-1/2)^2 + 3^2 + 0^2) = √(1/4 + 9) = √(9 + 1/4) = √(36/4 + 1/4) = √(37/4) = √37/2.

Дополнительный материал:
1. Найдите координаты вектора AB и его длину, если точки A(-3; 1; -1) и B(2; -4; 1).
2. Найдите координаты вектора C, если разложение векторов A и B по ортам дано: D = i - 3j + k и B = -2i + r.
3. Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка AB, если точки A(1; 2; -1) и B(-2; 0; 1).

Совет:
Для выполнения этих задач полезно знать основные понятия векторов, включая вычитание векторов, сумму векторов и формулу для нахождения длины вектора. Регулярное практикование подобных задач поможет вам лучше понять и запомнить эти концепции.

Задание:
Найдите координаты и длину вектора FG, если точки F(-1; 3; 2) и G(4; -2; -5).

Содержание: Векторы в трехмерном пространстве

Инструкция:
1. Чтобы найти координаты вектора AB, вычитаем координаты точки A из координат точки B: AB = B - A. В данном случае, AB = (2 - (-3), (-4) - 1, 1 - (-1)) = (5, -5, 2). Таким образом, координаты вектора AB равны (5, -5, 2).
Для вычисления длины вектора AB используем формулу длины вектора: |AB| = √(AB_x² + AB_y² + AB_z²). Подставляем значения координат вектора AB: |AB| = √(5² + (-5)² + 2²) = √(25 + 25 + 4) = √54 ≈ 7.35 (округленно до двух знаков после запятой).

2. Если дано разложение вектора D = i - 3j + k и B = -2i + r, то можно найти координату вектора C как разность A и B: C = D - B. В данном случае, C = (i - 3j + k) - (-2i + r) = (3 + r)i + 3j + (1 + r)k. Таким образом, координаты вектора C равны (3 + r, 3, 1 + r).

3. Чтобы найти расстояние от начала координат до середины отрезка AB, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²). Подставим значения точек A(1, 2, -1) и B(-2, 1, -5): d = √((-2 - 1)² + (1 - 2)² + (-5 - (-1))²) = √(9 + 1 + 16) = √26 ≈ 5.10 (округленно до двух знаков после запятой).

Например:
1. Координаты вектора AB: (5, -5, 2)
Длина вектора AB: 7.35 (округленно до двух знаков после запятой)
2. Координаты вектора C: (3 + r, 3, 1 + r)
3. Расстояние от начала координат до середины отрезка AB: 5.10 (округленно до двух знаков после запятой)

Совет:
Для понимания векторов в трехмерном пространстве полезно представить их как направленные отрезки, где начало отрезка - начальная точка, а конец - конечная точка. Координаты вектора задаются разностью координат соответствующих точек. Для нахождения длины вектора используется формула расстояния между двумя точками. Расширьте свои знания, выполняя дополнительные упражнения и задачи.

Задание:
4. Найдите координаты и длину вектора DE, если даны точки D(2, -3, 1) и E(5, 2, -4).